1、2012 年武汉科技大学专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列函数相等的是( )2 下列函数中为奇函数的是( )3 极限 的值是( )（A）1（B） -1（C） 0（D）不存在4 当 x0 时，下列无穷小量中与 x 等价的是( )（A）2x 2-x（B）（C） ln(1+x)（D）sin 2x5 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点6 设函数 f(x)可导，且 =-1，则 f(1)=( )（A）2（B） -1（C） 1（D）-27 设函数 f(x)具有
2、四阶导数，且 f“(x)= ，则 f(4)(x)=( )8 曲线 在对应点 t=4 处的法线方程为( )（A）x=（B） y=1（C） y=x+1（D）y=x-19 已知 de-xf(x)=exdx，且 f(0)=0，则 f(x)=( )（A）e 2x+ex（B） e2x-ex（C） e2x+e-x（D）e 2x-e-x10 函数在某点处连续是其在该点处可导的( )（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件11 曲线 y=x4-24x2+6x 的凸区间为( )（A）(-2，2)（B） (-，0)（C） (0，+)（D）(-，+)12 曲线 y= ( )（A）仅有水平渐近线（B
3、）既有水平又有垂直渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既无水平又无垂直渐近线13 下列说法正确的是( )（A）函数的极值点一定是函数的驻点（B）函数的驻点一定是函数的极值点（C）二阶导数非零的驻点_定是极值点（D）以上说法都不对14 设 f(x)在a，6b 上连续，且不是常数函数，若 f(a)=f(b)，则在(a，b)内( )（A）必有最大值或最小值（B）既有最大值又有最小值（C）既有极大值又有极小值（D）至少存在一点 ，使得 f()=015 若 f(x)的一个原函数是 lnx，则 f(x)=( )（A）1x（B） -（C） lnx（D）xlnx16 若f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2
4、)dx=( )（A）-2(1-x 2)2+C（B） 2(1-x2)2+C（C） - (1-x2)2+C（D） (1-x2)2+C17 下列不等式中不成立的是( )（A） 12lnxdx 12(lnx)2（B）（C） 02ln(1+x)dx 02xdx（D） 02exdx 02(1+2)dx18 |lnx|dx=( )19 下列广义积分中收敛的是( )20 方程 x2+y2-z=0 在空间直角坐标系中表示的曲面是( )（A）球面（B）圆锥面（C）旋转抛物面（D）圆柱面21 设 a=-1，1，2，b=2，0，1 则 a 与 b 的夹角为 ( )（A）0（B） 6（C） 4（D）222 直线 =号与
5、平面 4x-2y-2z=3 的位置关系是( )（A）平行但直线不在平面上（B）在平面上（C）垂直（D）相交但不垂直23 设 f(x，y)在点(a，b)处有偏导数，则 =( )（A）0（B） 2fx(a，b)（C） fx(a，b)（D）f y(a，b)24 函数 z= 的全微分 dz=( )25 0ady f(x，y)dx 化为极坐标形式为 ( )（A） 02d0af(rcos，rsin)rdr（B） 02d0cosf(cos，rsin)rdr（C） d0asinf(rcos， rsin)rdr（D） d0af(rcos，rsin)rdr26 设 L 是以 A(-1，0)，B(-3，2)，C(3
6、，0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA，则 L(3x-y)dx+(zx-2y)dy=( )（A）-8（B） 0（C） 8（D）2027 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )28 若级数 un 收敛，则下列级数中收敛的是( )29 函数 f(x)=ln(1-x)的幂级数展开式为( )30 级数 an(x-1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）无法确定二、二、填空题31 已知 f(x)= ，则 ff(x)=_32 当 x0 时，f(x)与 1-cosx 等价，则 =_33 若 =8，则 a=_34 设函数 f(x)= 在(
7、-，+)内处处连续，则 a=_35 曲线在 y= 在(2，2) 点处的切线方程为_36 函数 f(x)=x2-x-2 在区间0，2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的=_37 函数 f(x)=x- 的单调减少区间是_38 已知 f(0)=2，f(2)=3 ，f(2)=4，则 02xf“(x)dx=_39 设向量 b 与 a=1，-2，3共线，且 ab=56 ，则 b=_40 41 函数 f(x， y)=2x2+xy-2y2 的驻点为_42 设区域 D 为 x2+y29，则 x2yd=_43 交换积分次序后， 01dx f(x，y)dy=_44 已知 y=- xe-x 是微分方程 y“-2y-3y
8、=e-x 的一个特解，则该方程的通解为_45 已知级数 un 的部分和 Sn=n3，则当 n2 时，u n=_三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设 y=f(x)是由方程 exy+ylnx=sin2x 确定的隐函数，求 dydx48 已知xf(x)dx=e -2x+C，求 dx49 求 -44|x(x-1)|dx50 已知 z= ，求全微分 dz51 求 (2x+y)d，其中区域 D 由直线 y=x，y=2x，y=2 围成52 求微分方程 y=2xy=x 的通解53 求幂级数 x2n 的收敛区间(考虑区间的端点)四、综合题54 靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在
9、限定场地面积为 64m2 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小55 设 D 是由曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成的区域，其中求 D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积五、证明题56 设 F(x)=axf(x)dt+bx dt，其中函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，证明在开区间(a，b)内，方程 F(x)=0 有唯一实根2012 年武汉科技大学专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 由函数相等的定义知 D 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 对于 C，有故 C 为
10、奇函数3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知 =1故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =1，但 f(x)在 x=0 处无定义，因此 x=0是 f(x)的可去间断点6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 x(t)=-sint，y(y)=2cos2t，所以 k=9 【正确答案】 B【试题解析】 对等式两边积分，得de -xf(x)=exdx，即 exf(x)=ex+C， 所以 f(x)=e2x+Cex 因为 f(0)=0，所以 0=1+C，即 C=-1，因此 f(x)=e2x-e
11、x故选 B10 【正确答案】 A【试题解析】 根据可导与连续的关系知选 A11 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=f(x)=x4-24x2+6x，所以 y=4x 3-48x+6，y“=12x 2-48， 由 12x2-480，得-2 x2，因此曲线的凸区间为(-2，2) 12 【正确答案】 B【试题解析】 由渐近线的定义知，曲线 y= 既有水平又有垂直渐近线13 【正确答案】 C【试题解析】 由极值的第二判定定理，知 C 正确14 【正确答案】 A【试题解析】 根据有界性与最大值最小值定理，知 A 选项正确15 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=(lnx)=1x，所以 f(x
12、)=-16 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知，因为f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2dx=- f(1-x2)d(1-x2)=- (1-x2)2+C17 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D，应有 02exdx 02(1+x)dx，故 D 选项错误18 【正确答案】 C【试题解析】 19 【正确答案】 C【试题解析】 20 【正确答案】 C【试题解析】 由旋转抛物面的定义知选 C21 【正确答案】 D【试题解析】 ab=-12+10+21=0，|a|= 所以故选 D22 【正确答案】 A【试题解析】 因为直线 l 的方向向量 n=-2，-7 ， 3，平面的方向向量为 s=4，-
13、2，-2则 sn=-24+(-7)(-2)+3(-2)=0所以结合选项可知直线与平面平行但直线不在平面上23 【正确答案】 B【试题解析】 24 【正确答案】 D【试题解析】 25 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=rcos，y=rsin ，可知：02，0ra，故化为极坐标形式为 d0a(rcos，rsin)rdr26 【正确答案】 A【试题解析】 由格林公式，知 L(3x-y)dx+(x-2y)dy=-2 42=-827 【正确答案】 C【试题解析】 由可分离变量的方程形式，知选项 C 正确28 【正确答案】 A【试题解析】 由无穷级数的基本性质知， 收敛29 【正确答案】 C【试题解析
14、】 由幂级数展开公式，得 f(x)=ln(1-x)=-x- -，x-1，1)，故选 C30 【正确答案】 B【试题解析】 由绝对收敛的定义，通过计算，故选 B二、二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 由题可知，f(x)=32 【正确答案】 12【试题解析】 由题意可知，f(x)与 1-cosx 等价，则33 【正确答案】 ln2【试题解析】 =1，所以 e3a=8，3a=ln8，因此 a=ln234 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)在(-，+) 内处处连续，所以 a= =135 【正确答案】 【试题解析】 k=y= |x=2=3又因为过点(2，2)，所以切线方程为 y=36
15、【正确答案】 1【试题解析】 由拉格朗日中值定理，知 f()= =1，f(x)=2x-1，当 x=1 时，有 f(1)=1，故=137 【正确答案】 (0，14)【试题解析】 由题意可知，f(x)=1- 则 f(x)0，即 0，解之得0x1438 【正确答案】 7【试题解析】 由题意可知， 02xf“(x)dx=xf(x)|02-02f(x)dx=2f(2)-0-f(x)|02=24-f(2)+f(0)=8-3+2=739 【正确答案】 4a 或4，-8，12【试题解析】 由 a 与 b 共线，知 b=a，由 ab=aa=14=56 ，知 =4，故b=4a 或 b=4，-8，12 40 【正确
16、答案】 【试题解析】 由题意得，41 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 f x(x，y)=4x+y，f y(x，y)=x-4y ，令 fx(x，y)=0，f y(x，y)=0，即得驻点为(0，0)42 【正确答案】 0【试题解析】 令 x=rcos，y=rsin ，知x2yda=02d03r3cos2Sindr= 02cos2sind03r4dr=043 【正确答案】 01dy f(x，y)dx【试题解析】 由 01dx f(x，y)dy 知，积分区域为： 交换积分次序后，积区域为：44 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e3x- xe-x【试题解析】 由题知，齐次方程所对应的特征方程为
17、，r 2-2r-3=0，解得：r 1=-1，r 2=3，故对应的齐次方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x，又知特解为 y*=- xe-x，故通解为 y=C1e-x+C2e3x- xe-x45 【正确答案】 3n 2-3n+1【试题解析】 u 1=S1=1，当 n2 时，u n=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3=3n2-3n+1，由于当 n=1 时，也满足 un，所以 un=3n2-3n+1三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 两边同时对 x 求导，得 exy(y+xy)+ +ylnx=2cos2x 则48 【正确答案】 等式两边对 x 求导，得
18、 xf(x)=-2e-2x 则49 【正确答案】 -44|x(x-1)dx=-40(x2-x)dx-01(x2-x)dx+14(x2-x)dx=50 【正确答案】 51 【正确答案】 由题意可知，积分区域 D 为 0y2，y2xy52 【正确答案】 方程为一阶非齐次线性微分方程，其中 P(x)=-2x，Q(x)= 则方程的通解为 y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C=e-(-2x)dxxe(-2x)dxdx+C=53 【正确答案】 令 t=x2，则级数为四、综合题54 【正确答案】 设与已知墙面平行的墙的长度为 x，则另二面墙的长为 64x，故三面墙的总长为 l=x+ (x0) 此时，三面墙的长度分别为 855 【正确答案】 由题意得 Vy=五、证明题56 【正确答案】 因为 F(x)在a，b 上连续，且 F(a)=1ab dt0，F(b)= ab(t)dt0所以方程 F(x)=0 在(a，b)内有根，又因 F(x)=f(x)+ 0 所以 F(x)在(a ，b)内单调，故至多有一个实根，综合可得 F(x)=0 在(a ，b) 内有唯一实根
