1、2013 年湖北文理学院专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 a 是一个常数，且 f(x)=a，则函数 f(x)在点 x0 处( )（A）可以有定义，也可无定义（B）一定有定义（C）一定无定义（D）有定义，且 f(x0)=a2 当 x0 时，2sinxcosx 与 x 比较是( )无穷小量（A）等价的（B）同阶的（C）较高阶的（D）较低阶的3 下列函数中在区间-2，2上满足罗尔定理条件的是( )（A）y=1+|x|（B） y=x2+1（C） y=（D）y=x 3+14 下列等式中成立的是( )（A）df(x)dx=f(x)（
2、B） df(x)dx=f(x)dx（C） f(x)dx=f(x)+C（D） f(x)dx=f(x)dx5 若 y1，y 2 是某个二阶齐次线性方程的解，则 C1y1+C2y2(C1、C 2R)是方程的( ) （A）通解（B）特解（C）解（D）全部解二、二、填空题6 函数 z=ln(x2+y2-2)+ 的定义域为_7 设函数 f(x)= ，如果 f(x)在 x=0 处连续，则 a=_8 设函数 y=xe-x，则曲线的拐点为_9 改变二次积分的积分次序， 01dx f(x，y)dy=_10 函数 ln(1+x)展开成 x 的幂级数为_三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 12 13 y=
3、 ，求 y14 求由方程 1-y+xey=0 所确定的隐函数的导数15 设 z=u2+v2，u=x+y，v=x-y ，求16 y= ，求 dy17 z=arcsin ，求 dz18 19 dxdy，其中 D 是由直线 y=2x，y=x ，x=4，x=2 所围成的区域20 计算 L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy，L 为 y=1-|1-x|(0x2)依 x 增加的方向21 计算 Lex(1-cosy)dx-(y-siny)dy，其中 L 是 y=sinx 从 O(0，0)到 B(，0)的一段弧，要求利用格林公式22 判别级数 的敛散性23 求级数 (x-1)n 的收敛域24 求微分方程 y
4、“-5y+6y=xe2x 的通解25 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积四、证明题26 证明不等式：e xx+1(x0)2013 年湖北文理学院专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 B3 【正确答案】 B4 【正确答案】 B5 【正确答案】 C二、二、填空题6 【正确答案】 (x，y)|2x 2+y247 【正确答案】 38 【正确答案】 (2，2e -2)9 【正确答案】 01dy f(x，y)dx10 【正确答案】 三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12
5、【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 方程两边对 x 求导，其中 y 为 x 的函数，得-y+e y+xeyy=0，于是15 【正确答案】 由题可得， =2u1+2v1=2(x+y)+2(x-y)=4x， =2u1+2v(-1)=2(x+y)-2(x-y)=4y16 【正确答案】 y= ln(x-6)-ln(x+6)，17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，易知区域 D 可表示为 则20 【正确答案】 由题，L 可分为两段， 故原积分=L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=012x2d
6、x+12x2+(2-x)2+(2-x)2-x2dx21 【正确答案】 首先计算积分 Lex(1-cosy)dx-(y-siny)dy，其 L为从 B(，0)到O(0，0)的直线段，而 L， ex(1-cosy)dx-(y-siny)dy=0，设 D 为如图所示的区域，由格林公式，得- L+Lex(1-cosy)dx-(y-siny)dy22 【正确答案】 原级数收敛23 【正确答案】 原级数收敛半径为 1925，令|x-1|625，得 1925x3125，且当 x=1925时，原级数为 (-1)nn 发散，原级数的收敛域为(1925 ，3125) 24 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征
7、方程为 r2-5r+6=0，得特征根为r1=2，r 2=3，故齐次方程的通解为 y=C1e2x+C2e3x，由于 r1=2 为单特征根，由题可设原微分方程的通解为 y=x(Ax+B)e2x，代入原方程，对比 x 的系数，可得 A=-，B=-1 ，故原微分方程通解为 y=C1e2x+C2e3x- e2x(x2+2x)25 【正确答案】 设长方体的长宽高分别为 x，y，z，则其表面积为 2(xy+xz+yz)=a2，而所求体积 V=xyz，题中即为求体积 V 在条件下的最值，构造拉格朗日函数，L=xyz-(2xy+2xz+2yz-a 2)，由于实际问题，最大值一定存在，故当长方体为棱长为 a 的正方体时，其体积最大，最大体积 Vmax=a3四、证明题26 【正确答案】 构造函数 f(x)=ex-x-1，f(x)=e x-1， 令 f(x)=0，得 x=0， 且当 x0时，f(x)0，当(x)0 时，f(x) 0， x=0 是 f(x)在(-，+)上唯一极小值点，故为最小值点， 故 f(x)f(0)=0在 R 上成立，且等号只在 x=0 取得， 故 exx+1，在x0时成立
