1、专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 若 F(x)=G(x)，k 为常数，则 ( )（A）G(x)+F(x)=k（B） G(x)一 F(x)=k（C） G(x)一 F(x)=0（D）(F(x)dx) =(G(x)dx)2 若f (x3)dx=x3+C，则 f(x)= ( )（A）x+C（B） x3+C（C） +C（D） +C3 已知 f(lnx)=x，其中 1x+ ，及 f(0)=0，则 f(x)= ( )（A）f(x)=e x（B） f(x)=ex 一 1，1x+（C） f(x)=ex 一 1，0x+（D）f(x)=e x，1x+4 已知 arctanx2
2、 是函数 f(x)的一个原函数，则下列结论中，不正确的是 ( )（A）f(x)=（B）当 x0 时，f(x)和 x 是同阶无穷小量（C） 0 f(x)dx=（D）f(2x)dx=arctan4x 2+C5 下列积分中，值为零的是( )6 已知 0k(2x 一 3x2)dx=0，则 k= ( )（A）0 或 1（B） 0 或一 1（C） 0 或 2（D）1 或一 17 使 1 f(x)dx=1 成立的 f(x)为 ( )8 0 sinxcosxdx= ( )（A）0（B）（C） 1（D）9 图 31 中阴影部分的面积总和可表示为 ( )（A） abf(x)dx（B） abf(x)dx（C） ac
3、1f(x)dx+c1c2f(x)dx c2bf(x)dx（D） ac1f(x)dx 一 c1c2f(x)dx+c2bf(x)dx二、填空题10 =_11 =_12 已知函数 f(x)= ，则定积分 12f( )dx 的值等于_13 1 1x7cosxdx=_14 设 f(x)=0xtdt，则 f(x)= _15 曲线 y=2x 与直线 x+2y=2，x=2 所围图形的面积是 _16 计算 17 如果 +C，试求f(x)dx18 计算 (要求写出解答过程 )19 0 sin3xsin2xdx20 设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)=1+ 1xf(t)dt，求 f(x)21 设 f(2x
4、 一 1)=xlnx，求 13f(t)dt22 求定积分 arcsinxdx23 求由曲线 y2=(x 一 1)3 和直线 x=2 所围成的图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积24 曲线 x=y+ey，直线 x=y，y=1，y=2 围成一平面图形 B，求图形 B 绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积 Vy24 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成图形的面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成图形的面积为 S2，并且 a125 试确定 a 的值，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；26 求该最小值所对应平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试
5、卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 F (x)=G(x)，两边积分得F (x)dx=G(x)dx，则 F(x)+C1=G(x)+C2，故 F(x)一 G(x)=C2 一 C1=k，故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 f (x3)dx=x3+C，两边求导得 f(x3)=3x2= ，两边积分得f (x)dx=C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 令 t=lnx 得 f(t)=et，f(t)=e t+C，由 f(0)=0 得 C=一 1，即 f(t)=et 一 1，又 1x，从而 t=lnx0，故 f(x)=ex
6、一 1，0x+【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 A 项：f(x)=(arctanx 2)= =2，所以 f(x)和 x 是同阶无穷小量；C项： 0 f(x)dx=arctanx2 0 = = arctan4x2C ，故选 D【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 对于 A 选项,xsin 2x 为奇函数，由积分性质知， xsin2xdx=0；对于 B 选项， 1 1xdx=2 01xdx=x2 01=1；对于 C 选项， =1，故选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 0k(2x 一 3x2)dx=(x2 一 x3)
7、 0k=k2 一 k3=k2(1 一 k)=0，所以 k=0 或k=1【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A， 1 f(x)dx=1 dx= 1 =1，故此积分收敛，且收敛于 1；对于选项 B， 1 f(x)dx=1 dx=lnx 1 不存在；对于选项C， 1 f(x)dx=1 ex dx=一 ex 1 =e1 ，故此积分收敛，但收敛于 e1 ；对于选项 D， 1 f(x)dx=1 dx=arctanx 1 = ，故此积分收敛，但收敛于故选 A【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 D【试题
8、解析】 面积为正值，故当 f(x)0 时，其相应部分的面积应表示为 ，故选 D，也可表示为 abf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 一 arctanexC【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 0【试题解析】 x 7cosx 为奇函数，积分区间关于原点对称， 1 1x7cosxdx=0【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 x【试题解析】 当 x0 时，f (x)=(0xtdt)=x，当 x0 时，f (x
9、)=0x(一 t)dt=一 x，当 x=0 时，f (0)= =0，同理 f (0)=0，所以 f(0)=0，故 f(x)=x【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 一 1【试题解析】 由题意分析得，所求图形的面积为 02 1【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由 C，两端对 x 求导，得 ，故f(x)dx= +C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因 f(x)=1+ 1xf(t)dt 可导，在该式两边乘 x 得 xf(
10、x)=x+1xf(t)dt，两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，所以 f(x)= ，则 f(x)=lnx+C，再由 x=1 时，f(1)=1，得 C=1，故 f(x)=lnx+1【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 13f(t)dt 212f(2x1)dx=2 12xlnxdx=12lnxdx2=x2lnx 12 一12xdx=4ln2 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 V x=12y2dx=12(x 一 1)3dx= 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 V y=12(y+ey)2y2dy=
11、12(2yeye 2y)dy= 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因为 a 1，所以可分成 0a 1 ，a0 两种情况，分别画出两种情况下的图形(如图 38)，求出 S1+S2 的最小值后，即可确定 a 的值 当0a1 时， S=S1+S2=0a(ax 一 x2)dx+a1(x2 一 ax)dx= ，令 S=a2 一 是极小值，即最小值；当 a0 时，S=S 1+S2=a0(ax 一 x2)dx+01(x2 一 ax)dx= ，因为S= (a2+1)0，S 单调减少，故 a=0 时，S 取得最小值，此时 S= 比较可知， 是最小值【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 V x= 【知识模块】 一元函数积分学
