1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 15 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 向量组 1， 2 和向量组 2， 3 均线性无关，则向量组 1， 2， 3 ( )（A）一定线性无关（B）一定线性相关（C）不能由 1， 3 线性表示（D）既可以线性相关也可以线性无关2 设 ，则 3=_时，有 1， 2， 3 为 R3 的基 ( )（A）(0 ，0，1) T（B） (0，1，0) T（C） (1，0，1) T（D）(2 ，1，2) T3 设有向量组 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1
2、， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是 ( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4， 5（C） 1， 2， 4（D） 1， 2， 54 若矩阵 A 与 B 等价，则 ( )（A）|A|=|B|（B） A 与 B 相似（C） A 与 B 合同（D）r(A)=r(B)5 设 A，B 是 n 阶正定矩阵，则_是正定矩阵 ( )（A）A*.B*（B） A*+B*（C） k1A*+k2B*（D）A*一 B*二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 则|-A|=_ ，|A 2|=_7
3、设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 1，2，3，则 |A+2E|=_8 若 A2=E，则矩阵 A 的特征值为_9 设矩阵 则 ATB=_10 已知 =(2，1，3) ，=(-1，3，6)则 2+3=_11 它的第 3 行第 2 列元素 0 的代数余子式 A32=_12 设矩阵 则|AA T|=_13 已知 ，则 X=_14 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x22+2x2x3+2x32 的矩阵的系数矩阵为_，该二次型为_定二次型15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+x2x3 经过正交变换 x=Px 可化为标准
4、形 f=6y12 则 a=_三、计算题16 计算四阶行列式17 设 ，且满足 AB=A+2B，求 B18 设 求：(1)P12013AP3；(2)P 2AP12013。19 设 ，试确定 a 的值使 r(A)=220 用初等行变换求解线性方程组21 求矩阵 的特征值和特征向量22 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2 一 4x1x3 一 8x2x3，用正交变换化f(x1，x 2，x 3)为标准形，并求出其正交变换矩阵 Q四、证明题23 假设 A 是 m n 阶矩阵，若对任意 n 维向量 x，都有 Ax=0，则 A=0.全国自考公共课线性代数（经管类）
5、模拟试卷 15 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则 1， 2 线性无关， 2， 3 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关；又设 1= 则 1， 2 线性无关， 2， 3 线性无关，但 1， 2， 3 线性无关2 【正确答案】 A【试题解析】 首先易知 1， 2 线性无关(其坐标不成比例，) 又令 A=(1， 2， 3)，则 1， 2， 3 线性无关,|A|0由于 A 的左上角 2 阶主子式(记为|A 11|)不等于 0，故选 3= =|A11|10)3 【
6、正确答案】 C【试题解析】 ( 1T， 2T， 3T， 4T， 5T)=故 1T， 2T， 4T 线性无关，从而 1， 2， 4 是极大线性无关组4 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 等价的充分必要条件为 A，B 为同阶方阵，且 r(A)=r(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 是 n 阶正定阶阵，则 A*，B*也是 n 阶正定矩阵，所以对于任何非零实列向量 x 都有 xTA*x0，x TB*x0 ，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x0 对任何非零实列向量都成立，由定义知，A*+B*为正定矩阵答案为 B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不
7、填均无分。6 【正确答案】 一 6，36【试题解析】 |A|=(一 1)3|A|=一|A|= 一 6，|A 2|=|A|2=367 【正确答案】 60【试题解析】 |A+2E|=(1+2)(2+2)(3+2)=345=608 【正确答案】 =1【试题解析】 设 A 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，则A=，A 2=A.A=A.=.A又因 A2=E，故 2=E，又因为 为特征向量，故 =19 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 (1，11，24)【试题解析】 2+3=(4 ，2，6)+(一 3，9，18)=(1，11，24) 11 【正确答案】 一 2【试题解析】 12 【正确答案】
8、 9【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 故该二次型为正定二次型15 【正确答案】 2【试题解析】 由二次型的标准形可知，二次型的矩阵 A 的特征值是 6，0，0由矩阵的特征值的性质知， 1+2+3=6=a11+a22+a33=3a，故 a=2三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 (1)因为 ，P13=P12.P1=P1，故当 n2 为偶数时， P1n=E，当 n 为奇数时，P 1n=P1，所以P12013AP3=P1AP3，P 1 左乘 A 相当于交换 A 的 1，2 两行，P 3 右乘 P1A 相当于 P1A的第一
9、列的 2 倍加到第二列，所以(2)同理P2AP12013=P2AP1，P 2 左乘 A 相当于 A 的第三行各元素乘以 2，P 1 右乘 P2A 相当于交换 P2A 的 1，2 两列，19 【正确答案】 当 a=0 时，r(A)=2 20 【正确答案】 对增广矩阵施以初等行变换故方程组的唯一解为21 【正确答案】 由 可得A 的特征值 1=2=1， 3=3对于特征值 1=2=1，解齐次线性方程组(EA)x=0，得基础解系 所以属于特征值 1=2=1 的特征向量为 k11(k1 为非零的任意常数)对于特征值 3=3，解齐次线性方程组(3E A)x=0，得基础解系 所以属于特征值 3=3 的特征向
10、量为 k22(k2 为非零的任意常数)22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=2x12+5x22+5x32+4x1x24x1x38x2x3，A 的特征多项式 ()=( 一 1)2( 一 10)，于是得到A 的特征值为 1=2=1， 3=10对于特征值 1=2=1，由方程组(EA)x=0，得到属于特征值 1=2=1 的两个正交的特征向量为对于特征值 3=10，由方程组(10EA)x=0 ，得到属于特征值 3=10 的特征向量为于是作正交变换 x=Qy，则有 f=y12+y22+10y32四、证明题23 【正确答案】 假设 A=(1， 2， n)， i 为 A 的列向量(i=1，2，n)取i=(0，1 ，0) T(i=1，2，n)，只有第 i 行的分量为 1，其余都为 0则所以 A=0
