1、3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率,课标要求:1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.,自主学习 新知建构自我整合,【情境导学】,导入 (教学备用)(生活中的数学)意大利中部的比萨城内,有一座造型古朴而又秀巧的钟塔,是罗马式建筑的范本,这就是堪称世界建筑奇迹的比萨斜塔.每年80万游客来到塔下,无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急,同时为自己能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.那么经过600多年的风雨沧桑,比萨斜塔的倾斜度又是如何呢?,导入 (旧知引新)如图,在平面直角坐标系中,给定一条直线l.,想一想 (1
2、)若直线l过点P,直线的位置能够确定吗? (不能) (2)过点P可作与l相交的直线多少条? (无数条) (3)对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度? (可利用直线相对于x轴的倾斜角度),1.直线的倾斜角 (1)直线l的倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 正向与直线l 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. (2)倾斜角的范围 当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角的取值范围为 .,知识探究,x轴,向上,平行或重合,0180,探究1:若直线l与x轴垂直,其倾斜角是多少度? 答案:90.,2.斜率的概念及斜率公式,正切值,tan ,探究2:若直
3、线l与x轴平行,其斜率是多少? 答案:0.,自我检测,1.(直线倾斜角的概念)下列说法正确的是( ) (A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角 (B)直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角 (C)与x轴平行的直线的倾斜角为180 (D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率,D,C,A,4.(倾斜角与斜率)已知M(a,b),N(a,c)(bc),则直线MN的倾斜角是 .,答案:90,答案:12,题型一,直线的倾斜角、斜率的定义,【例1】 (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角,则直线l的倾斜角为( ) (A)30 (B)60 (C)30或150 (D)60或
4、120,课堂探究 典例剖析举一反三,解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60或120,故选D.,答案:(1)D,(2)直线l的倾斜角为,斜率为k,则当k= 时,=60;当k=时,=135;当k0时,的范围是 ;当k0时,的范围是 .,方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角. (2)直线的斜率k随倾斜角增大时的变化情况: 当090时,随的增大,k在0,+)范围内增大; 当90180时,随的增大,k在(-,0)范围内增大.,即时训练1-1:(1)已知直线l过点O(0,0),A(1,1),将l绕点O逆时针
5、方向旋转75,得到直线l,则直线l的倾斜角为 ,斜率为 .,解析:(1)因为直线l过点O(0,0),A(1,1), 所以直线l的倾斜角为45, 将l绕点O逆时针方向旋转75,得到直线l的倾斜角为45+75=120,其斜率为k=tan 120=- .,答案:(1)120 -,(2)已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜角为( ) (A)0 (B)45 (C)60 (D)90,解析:(2)因为k= =0,所以直线的倾斜角为0.故选A.,答案:(2)A,【备用例1】 (1)设直线l1过原点,其倾斜角=15,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75,则
6、直线l2的倾斜角为 ;,解析:(1)设直线l2的倾斜角为, 由图可知,=15+75=90, 所以直线l2的倾斜角为90.,答案:(1)90,(2)设直线l过原点,其倾斜角为,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( ) (A)+45 (B)-135 (C)135- (D)当0135时,倾斜角为+45,当135180时,倾斜角为-135,解析:(2)由倾斜角的取值范围知只有当45+45180,即0 135时,l1的倾斜角才是+45;又0180,所以当135 180时,l1的倾斜角为-135(如图所示),故选D.答案:(2)D,题型二,斜率公式的应用,【例2】
7、已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交. (1)求直线PM与PN的斜率;,(2)求直线l的斜率k的取值范围.,误区警示 求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以,更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响.,即时训练2-1:(1)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45,则y等于( ),(2)经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( ) (A)(-,1) (B)(-1,+) (C)(-1,1) (D)(1,+)(-,-1),直线的斜率的应用,题型三,【例3】 求证:A(1,-
8、1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.,变式探究:若将例3中的条件变为A(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线,求m的值,应如何解决?,方法技巧,若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同,且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.,即时训练3-1:下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) (A)(1,3),(5,7),(10,12) (B)(-1,4),(2,1),(-2,5) (C)(0,2),(2,5),(3,7) (D)(1,-1),(3,3),(5,7),【备用例2】 斜率为2的直线经过A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则a,b的值分别为 , .,答案:4 -3,谢谢观赏！,
