1、3.2.3 直线的一般式方程,课标要求:1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.,自主学习 新知建构自我整合,【情境导学】,导入 (从直线与二元一次方程关系导入) 观察图象:,想一想 (1)坐标平面内的直线,都可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C =0(A,B不同时为0)表示吗?,(可以) (2)坐标平面内的直线与关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是否为一一对应关系? (不构成一一对应关系.坐标平面内的直线都可以看成关于x,y的二元一次方程,且方程有无数个,但一个关于x,y的二元一次方程对应着唯一的
2、一条直线),想一想 (1)上述形式的直线方程都可以化为二元一次方程的一般形式吗? (都可以) (2)试总结二元一次方程与直线之间的关系. (平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.任一关于x,y的二元一次方程都可以表示一条直线),知识探究,直线的一般式方程 (1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.,(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.,Ax+By+C=0,(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一
3、次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.,探究1:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?,探究2:在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式 方程?,自我检测,1.(一般式方程的应用)直线x+3y+3=0的斜率是( ),C,2.(一般式方程的应用)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是( ) (A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3,B,C,4.(一般式方程的应用)如果AB0,BC0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (
4、C)第三象限 (D)第四象限,5.(直线垂直的应用)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .,答案:1,B,题型一,直线的一般式方程,课堂探究 典例剖析举一反三,【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3). (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.,(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点. (4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.,方法技巧 根据已知条件求直线方程的策略 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知
5、直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式; (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式; (3)已知直线上两点坐标时,选用两点式; (4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.,即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的方程的一般式为 .,答案:3x-2y+12=0,【备用例题】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y =2m-6,根据下列条件分别确定实数m的值. (1)l在x轴上的截距为-3;,(2)斜率为1.,题型二,利用直线一般式方程解决平行、垂直问题,【例2】 (12分)已知直线l1:a
6、x+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值: (1)l1l2;,(2)l1l2.,变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?,方法技巧 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1l2A1A2+B1B2=0和l1l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.,即时训练2-1:(1)若直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,则实数a的值等于( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,解析:(1)因为直线
7、(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行, 所以(a+1)a=2.所以a2+a-2=0, 所以a=-2或a=1. 当a=-2时,直线-x+2y+1=0与直线x-2y=1重合. 当a=1时,直线2x+2y+1=0与直线x+y=1平行.选C.,(2)若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为( ) (A)-3 (B)1 (C)0或- (D)1或-3,解析:(2)因为l1l2, 所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 即a2+2a-3=0, 故a=1或-3.选D.,直线的一般式方程的应用,题型三,【例3】 已知ABC的顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线l平行于AB,且分别交AC,BC于点E,F,且CEF的面积是ABC的面积的 . (1)求点E,F的坐标;,(2)求直线l的方程.,方法技巧 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题. (2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.,即时训练3-1:直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程. (1)过定点A(-3,4);,(2)与直线6x+y-3=0垂直.,谢谢观赏！,
