1、12.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】 知识点、方法 题号空间中直线之间的位置关系 1,3,5平行公理与等角定理 4,8,13异面直线所成的角 2,6,7,9,10,11,12基础巩固1.(2018陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面 (D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选 C.2.在三棱锥 P-ABC 中,PC 与 AB 所成的角为 70,E,F,G 分别为 PA,PB, AC 的中点,则FEG等于( D )(A)20 (B)70(C)110
2、(D)70或 110解析:因为 E,F,G 分别为 PA,PB,AC 的中点,所以 EFAB,EGPC,所以FEG 或其补角为异面直线 PC 与 AB 所成的角,又 AB 与 PC 所成的角为 70,所以FEG 为 70或 110.3.已知异面直线 a,b 分别在平面 , 内,且 =c,那么直线 c 一定( C )(A)与 a,b 都相交(B)只能与 a,b 中的一条相交(C)至少与 a,b 中的一条相交(D)与 a,b 都平行解析:如图,a与 b 异面,但 ac,故 A 错;a 与 b 异面,且都与 c 相交,故 B 错;若ac,bc,则 ab,与 a,b 异面矛盾,故 D 错.4.(201
3、8宁夏育才中学高二上期末)空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( B )(A)空间四边形(B)矩形(C)菱形2(D)正方形解析:如图,E,F,G,H 为空间四边形 ABCD 各边中点,则 EF AC,HG AC.12 12所以四边形 EFGH 为平行四边形.又 FGBD,ACBD,所以 EFFG,所以四边形 EFGH 为矩形,故选 B.5.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面三角形 A1B1C1是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与 B1E 是异面直线(B)C1C 与 AE 共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE 与
4、B1C1所成的角为 60解析:由于 CC1与 B1E 都在平面 C1B1BC 内,故 C1C 与 B1E 是共面的,所以 A 错误;由于 C1C 在平面 C1B1BC 内,而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点,点 E 不在 C1C 上,故 C1C 与 AE 是异面直线,B错误;同理 AE 与 B1C1是异面直线,C 正确;而 AE 与 B1C1所成的角就是 AE 与 BC 所成的角,E为 BC 中点,ABC 为正三角形,所以 AEBC,D 错误.故选 C.6.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,D,E 分别是 VB,VC 的中点,则异面直线DE 与 AB 所
5、成的角为 . 解析:因为 D,E 分别是 VB,VC 的中点,所以 BCDE,因此ABC 是异面直线 DE 与 AB 所成的角,又因为 AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,所以ABC 是以ACB 为直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故异面直线 DE 与 AB 所成的角为 45.答案:457.如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 AD,AA1的中点.3(1)直线 AB1和 CC1所成的角为 ; (2)直线 AB1和 EF 所成的角为 . 解析:(1)因为 BB1CC 1,所以AB 1B 即为异面直线 AB1与 CC1所成的角,AB 1B=45.
6、(2)连接 B1C,易得 EFB 1C,所以AB 1C 即为直线 AB1和 EF 所成的角.连接 AC,则AB 1C 为正三角形,所以AB 1C=60.答案:(1)45 (2)608.(2018吉林四平月考)如图所示,在空间四边形 ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点.(1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形;(2)如果 AC=BD,求证:四边形 EFGH 是菱形.证明:(1)在ABD 中,因为 E,H 分别为 AB,AD 的中点,所以 EHBD 且 EH= BD.12同理在BCD 中,FGBD 且 FG= BD.12所以 EHF
7、G 且 EH=FG,所以四边形 EFGH 为平行四边形.(2)同(1)可得,EF=HG= AC,而 BD=AC,12所以 EH=HG=GF=FE,所以四边形 EFGH 是菱形.能力提升9.如图所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中点,将ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,HG 与 IJ 所成角的度数为( B )4(A)90 (B)60 (C)45 (D)0解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG 与 IJ 是一对异面直线.因为 IJAD,HGDF,所以 DF 与 AD 所成的角为 HG 与 IJ 所成的角,
8、又ADF=60,所以 HG 与 IJ 所成的角为 60.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB 与 CM 所成的角为 60;EF 与 MN 是异面直线;MNCD.以上结论中正确结论的序号为 . 解析:还原成正方体如图所示,可知正确.ABCM,不正确.正确.MNCD.不正确.答案:11.如图,在四面体 A-BCD 中,AC=BD=a,对棱 AC 与 BD 所成的角为 60,M,N 分别为 AB,CD 的中点,则线段 MN 的长为 . 解析:取 BC 的中点 E,连接 EN,EM,因为 M 为 AB 的中点,所以 MEAC,且 ME= AC= ,同理得,EN
9、BD,且 EN= ,12 2 25所以MEN 或其补角为异面直线 AC 与 BD 所成的角,在MEN 中,EM=EN,若MEN=60,则MEN 为等边三角形,所以 MN= .2若MEN=120,可得 MN= a.答案: 或 a212.如图,正方体 ABCD-EFGH 中,O 为侧面 ADHE 的中心,求:(1)BE 与 CG 所成的角;(2)FO 与 BD 所成的角.解:(1)如图,因为 CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角,又BEF 中,EBF=45,所以 BE 与 CG 所成的角为 45.(2)连接 FH,因为 HD EA,EA FB,所以 HD FB,所以
10、四边形 HFBD 为平行四边形,所以 HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角.连接 HA,AF,易得 FH=HA=AF,所以AFH 为等边三角形,又依题意知 O 为 AH 的中点,所以HFO=30,即 FO 与 BD 所成的角是 30.探究创新13.如图,E,F,G,H 分别是三棱锥 A-BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上的点,且 = =, = =. 6(1)若 =,判断四边形 EFGH 的形状;(2)若 ,判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 = ,且 EGHF,求 的值.12 解:(1)因为 = =,所以 EHBD,且 EH= BD. 1+又因为 = =.所以 FGBD,且 FG= BD. 1+又 =,所以 EHFG( 公理 4).因此 = 时,四边形 EFGH 为平行四边形.(2)若 ,由,知 EHFG,但 EHFG,因此 时,四边形 EFGH 为梯形.(3)因为 =,所以四边形 EFGH 为平行四边形.又因为 EGHF,所以四边形 EFGH 为菱形.所以 FG=HG.所以 AC=(+1)HG= HG= FG,32 32又 BD= FG=3FG,1+所以 = .12
