1、1大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A 组)1.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , =3.(1)求ABC 的面积.(2)若 c=1,求 a 的值.【解析】(1)cos A=2cos2 -1=2 -1= ,又 A(0,),sin A=(255)2 35= ,而 =| | |cos A= bc=3,所以 bc=5,45 35所以ABC 的面积为: bcsin A= 5 =2.12 12 45(2)由(1)知 bc=5,而 c=1,所以 b=5,所以 a= = =2 .25+1-23 52.已知a n是等差数列,b n是各项均为正数的等比数
2、列,且 b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.(1)求数列a n,bn的通项公式.(2)设 cn=anbn,求数列c n的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设数列a n的公差为 d,bn的公比为 q,依题意得解得 d=1,q=2,1+3=2,1+2=2+5,所以 an=1+(n-1)=n,bn=12n-1=2n-1.(2)由(1)知 cn=anbn=n2n-1,则Tn=120+221+322+n2n-1 2Tn=121+222+(n-1)2n-1+n2n -得:-T n=120+121+122+12n-1-n2n= -n2n=(1-n)2n-1.所以 Tn=(n-1)2n
3、+1.3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:绿色环保;经济实惠;安全可靠;改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民2天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标 准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了 n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.分组 频数 频率0,10) 2510,20) 0.1920,30) 5030,40) 0.2340,50) 0.1850,60 5(1)分别求出 n,a,b 的值.(2
4、)若从样本中年均用气量在50,60(单位:立方米)的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5 位居民的年均用气量均不相等).【解析】(1 )用气量在20,30)内的频数是 50,频率是 0.02510=0.25,则 n= =200.500.25用气量在0,10)内的频率是 =0.125,则 b= =0.012 5.用气量在50,60内的频率是 =0.025,则 a= =0.002 5.5200(2)设 A,B,C,D,E 代表用气量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 位 ,总的基本事件为3AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE
5、共 10 个;包含 A 的有 AB,AC,AD,AE 共 4 个,所以 P= = .254. 如图(1),五 边形 ABCDE 中,ED=EA,ABCD,CD=2AB,EDC=150.如图(2),将EAD 沿 AD折到PAD 的位置,得到四棱锥 P-ABCD.点 M 为线段 PC 的中点,且 BM平面 PCD.(1)求证:平面 PAD平面 PCD.(2)若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为 ,设 AB=1,求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】(1)取 PD的中点 N,连接 AN,MN,则 MNCD,MN= CD,又因为 ABCD,AB= CD,12所以 MNAB,MN=AB,则四边形
6、ABMN 为平行四边形,所以 ANBM,又 BM平面 PCD,所以 AN平面 PCD,又因为 AN平面 PAD,所以平面 PAD平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O,连接 PO,因为 AN平面 PCD,所以 ANPD,ANCD.由 ED=EA 即 PD=PA 及 N 为 PD 的中点,可得PAD 为等边三角形,所以PDA=60,POAD,又EDC=150,所以CDA=90,所以 CDAD,所以 CD 平面 PAD,CD平面 ABCD,所以平面 PAD平面 ABCD.所以 AD=平面 PAD平面 ABCD,4PO平面 PAD,POAD,所以 PO平面 ABCD,所以 PO 是四棱锥 P-ABCD 的高.因为 ABCD,所以PCD 为直线 PC 与 AB 所成的角,由(1)可得PDC=90,所以 tan PCD= = ,12所以 CD=2PD,由 AB=1,可知 CD=2,PA=AD=AB=1,则 VP-ABCD= POS 四边形 ABCD= .
