1、专题五 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积,高考导航,热点突破,备选例题,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2018全国卷,理3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ),A,解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.,2.(2018全国卷,理7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱
2、侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ),B,B,3.(2017全国卷,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ),(A)10 (B)12 (C)14 (D)16,解析:如图为该几何体的直观图,易知该几何体中有两个全等的梯形,其中一个梯形的面积为S= (2+4)2=6,故这些梯形面积之和为62=12.故选B.,4.(2017全国卷,理8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ),B,B,考情分析,1
3、.考查角度 (1)几何体三视图的识别; (2)由三视图还原直观图求长度、面积、体积; (3)与球有关的“接”“切”问题. 2.题型及难易度 选择题、填空题,中低档.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,空间几何体的三视图,考向1 几何体三视图的识别 【例1】 (2018济南市模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( ),(A) (B) (C) (D),解析:由题可知平面PAC平面ABCD,且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心.根据对称性,只需考虑PAC在底面、后面、右面的正投影即可.显然PAC在底面的正投影为正方形的对角线,
4、在后面与右面的正投影相同,均为等腰直角三角形,故选B.,考向2 由几何体的三视图还原几何体 【例2】 (2018太原市模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长棱的长度为( ),方法技巧,(1)由几何体的直观图画三视图时应注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图时,应先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然若是选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状时,可先根据俯视图确定几何体的
5、底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的直观图形状.,热点训练1:(2018惠州市调研)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面ABCD是正方形,侧棱AA1底面ABCD)中,点P是正方形A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( ),热点训练2:(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,解析:在棱长为2的正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥P-ABCD,如图,由图可知在此四
6、棱锥的侧面中,直角三角形有PAD,PDC,PAB,共3个, 故选C.,热点二,空间几何体的表面积和体积,考向1 由空间几何体的结构特征计算表面积与体积 【例3】 (2017全国卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD;,(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD. 又AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD.,(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.,考向2 由三视图计算空间几何体的表面积与体积 【例4】 (
7、1)(2018延安模拟)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ),(A)9 (B) (C)18 (D)27,(2)(2018遂宁模拟)在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示,则此机械部件的表面积为( ),方法技巧,(1)据三视图求表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图; (2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积; (3)求规则几何体的体积时,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积时,往往需采用分割或补形思想,转化求解.,热点训练3:某装饰品的三视图如图所
8、示,则该装饰品的表面积为( ),热点三,球与几何体的切、接问题,考向1 外接球,答案:6或54,考向2 内切球 【例6】 (2018长沙市、南昌市部分学校二次联考)已知一块直三棱柱形状的玉石,记为三棱柱ABC-A1B1C1,其中AB=10 cm,AC=6 cm,BC=8 cm,AA1=4 cm,若将此玉石加工成一个球,则此球的最大体积为( ),方法技巧,空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系. (2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中
9、元素间的关系求解. (3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.,热点训练4:(2018石家庄市质检)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积为 .,(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,备选例题 挖内涵寻思路,【例1】 (2018湖南省湘东五校联考)已知正三棱锥P-ABC的正视图和俯视图如图所示,则此三棱锥外接球的表面积为( ),【例2】 (2018唐山市第一学期五校联考)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点且皮球不变形,则皮球的半径为( ),
