1、1第 3 讲 立体几何中的向量方法(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号异面直线所成的角 1线面角 3二面角 2,4探索性问题 51.直三棱柱 ABC A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( C )(A) (B) (C) (D)110 25 22解析:建立空间直角坐标系如图,设 BC=CA=CC1=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),N(1,0,2),M(1,1,2),所以 =(1,-1,2),=(-1,0,2),所以 =-1+0+4=3,| | |= = .5所以 cos , =
2、 = = .| 330故选 C.2.(2018广西南宁三校联考)如图,已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,底面边长 AB=2,侧棱BB1的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1于点 E,交 B1C 于点 F.2(1)求证:A 1C平面 BDE;(2)求二面角 E BD A1的余弦值.(1)证明:连接 AC,因为 ABCD A1B1C1D1是正四棱柱,所以 BD平面 A1ACBDA 1C.同理可得BE平面 A1B1CBEA 1C.111111=1又因为 BDBE=B,所以 A1C平面 BDE.(2)解:以 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 C
3、E=a,则 B(2,2,0).E(0,2,a),B1(2,2,4),C(0,2,0),A1(2,0,4),由 BEB 1C =0a=1,所以 E(0,2,1).设平面 DBE 的法向量为 n=(x,y,z).由 n (x,y,z)(2,2,0)=0,所以 x+y=0.由 n (x,y,z)(0,2,1)=0,所以 2y+z=0.令 y=1,得 x=-1,z=-2,所以 n=(-1,1,-2).设平面 DBA1的法向量为 m=(x1,y1,z1).由 m x1+y1=0,由 m x1+2z1=0,1令 x1=2 得 y1=-2,z1=-1,所以 m=(2,-2,-1).设 m 与 n 所成的角为
4、 ,3则 cos = = = =- .| 22+24+4+11+1+4由题意,二面角 A1 DB E 为锐角,所以二面角 A1 DB E 的余弦值为 .3.(2018郑州市一中入学测试)在如图所示的多面体中,四边形 ABCD 是平行四边形,四边形BDEF 是矩形,ED平面 ABCD,ABD= ,AB=2AD.(1)求证:平面 BDEF平面 ADE;(3)若 ED=BD,求直线 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值.(1)证明:在ABD 中,ABD= ,AB=2AD,由余弦定理,得 BD= AD,3从而 BD2+AD2=AB2,故 BDAD,所以ABD 为直角三角形且ADB=90.因为 DE平面
5、 ABCD,BD平面 ABCD,所以 DEBD.又 ADDE=D,所以 BD平面 ADE.因为 BD平面 BDEF,所以平面 BDEF平面 ADE.(2)解:由(1)可得,在 RtABD 中,BAD= ,BD= AD,3又由 ED=BD,设 AD=1,则 BD=ED= .3因为 DE平面 ABCD,BDAD,所以,以点 D 为坐标原点,DA,DB,DE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.则 A(1,0,0),C(-1, ,0),E(0,0, ),F(0, , ),3 3 3所以 =(-1,0, ), =(-2, ,0).3 3设平面 AEC 的法向量为 n=(
6、x,y,z),4则 =0,=0,即令 z=1,得 n=( ,2,1),为平面 AEC 的一个法向量.3因为 =(-1, , ),3 3所以 cos= = .|所以直线 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值为 .4.(2018广东省广州市海珠区一模)如图,四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AD=2BC=2,BAD=ABC=90.(1)证明:PCBC;(2)若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 30,求二面角 B PC D 的余弦值.(1)证明:取 AD 的中点为 O,连接 PO,CO,因为PAD 为等边三角形,所以 POAD.底面 ABCD 中,可得四
7、边形 ABCO 为矩形,所以 COAD,因为 POCO=O,所以 AD平面 POC,PC平面 POC,ADPC.又 ADBC,所以 PCBC.(2)解:由平面 PAD平面 ABCD,POAD 知,所以 PO平面 ABCD,OP,OD,OC 两两垂直,直线 PC 与平面 PAD 所成角为 30,即CPO=30,由 AD=2,知 PO= ,3得 CO=1.分别以 , , 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz,则 P(0,0, ),D(0,1,0),3C(1,0,0),B(1,-1,0), =(0,1,0), =(1,0,- ), =(-1,1,0),3设平面 PB
8、C 的法向量为 n=(x,y,z),5所以 =0, 3=0,则 n=( ,0,1),3设平面 PDC 的法向量为 m=(x1,y1,z1),所以 11=0,1 31=0,则 m=( , ,1),cos= = = ,3 3| 427277所以可知二面角 B PC D 的余弦值为- .2775.(2018南昌市重点中学一模)如图,在三棱柱 ABC DEF 中,所有棱长均相等,且ABE=ACF= ,CEBF=O,点 P 为线段 ED 上的动点(异于 E,D 两点).(1)当 P 为线段 ED 的中点时,证明:OP平面 ACFD;(2)当 P 在线段 ED 上何处时,二面角 O PF E 的余弦值为
9、?(1)证明:法一 当 P 为 ED 的中点时,连接 CD,因为 O 为 CE 的中点,所以 OPCD,又 OP平面 ACFD,CD平面 ACFD,所以 OP平面 ACFD.法二 取 EF 的中点 G,因为 P 为 ED 的中点,所以 PGFD,又 PG平面 ACFD,FD平面 ACFD,所以 PG平面 ACFD.连接 OG,同理可证 OG平面 ACFD.故平面 OPG平面 ACFD.又 OP平面 OPG,所以 OP平面 ACFD.(2)解:连接 AE,AF,AO,令 AB= ,因为ABE=ACF= ,所以 AB=AC=AF=AE.又 O 为 BF,CE 的中点,6所以 AOBF,AOCE,所
10、以 AO平面 CBEF,又 BC平面 CBEF,所以 AOBC,取 BC 的中点 S,连接 AS,OS,易知 BCAS,所以 BC平面 ASO,所以 BCOS,又易知 OSCF,所以 BCCF,故底面 BCFE 为正方形.以 OB,OE,OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 O(0,0,0),B(1,0,0),E(0,1,0),F(-1,0,0),A(0,0,1),=(-1,0,0), =(-1,1,0),由 = ,得 D(-1,1,1),令 =t (0|=| |= ,得 t= ,| 14故| |= | |,14即当点 P 为 DE 的靠近点 D 的四等分点时,二面角 O PF E 的余弦值为 .
