1、1小专题(五) 特殊平行四边形的计算与证明特殊平行四边形具有平行四边形的所有性质,而且在边、角、对角线方面有其独有的性质,能得到相等的角和相等的线段,为几何图形的计算和证明提供了重要的依据,是近几年全国各省市中考的必考内容 .类型 1 特殊平行四边形的计算1.(淮安中考)如图,在矩形纸片 ABCD 中, AB=3,点 E 在边 BC 上,将 ABE 沿直线 AE 折叠,点B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处,若 EAC= ECA,则 AC 的长是 (B)A.3 B.63C.4 D.52.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一点, CE=5,F
2、 为 DE 的中点 .若 CEF 的周长为 18,则 OF 的长为 (A)A.3.5 B.3C.5 D.2.53.如图,在矩形 AOBC 中, O 为坐标原点, OA,OB 分别在 x 轴、 y 轴上,点 B 的坐标为(0,3 ),3 ABO=30,将 ABC 沿 AB 所在直线对折后,点 C 落在点 D 处,则点 D 的坐标为(A)A. B.(32,32 3) (2,32 3)C. D.(32 3,32) (32,3-32 3)4.如图,菱形 ABCD 的周长为 40,E 是 AB 的中点, D=120,P 是对角线 AC 上的动点,则PE+PB 的最小值是 (B)2A.5 B.5 3C.1
3、0 D.10 35.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上, AEF 是等边三角形,连接 AC 交 EF 于点G,过点 G 作 GH CE 于点 H.若 S EGH=3,则 S ADF=(A)A.6 B.4C.3 D.26.如图, ABC 的周长为 26,点 D,E 都在边 BC 上, ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为 Q, ACB的平分线垂直于 AD,垂足为 P.若 BC=10,则 PQ 的长为 3 . 7.如图,在矩形 ABCD 中, DAC=65,E 是 CD 上一点, BE 交 AC 于点 F,将 BCE 沿 BE 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的点
4、C处,则 AFC= 40 . 8.(沈阳中考)四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,点 E 在边 AD 所在直线上,连接 CE,以 CE 为边,作正方形 CEFG(点 D,F 在直线 CE 的同侧),连接 BF.(1)如图 1,当点 E 与点 A 重合时,请直接写出 BF 的长 .(2)如图 2,当点 E 在线段 AD 上时, AE=1. 求点 F 到 AD 的距离; 求 BF 的长 .(3)若 BF=3 ,请直接写出此时 AE 的长 .103解:(1) BF=4 .5(2) 如图,过点 F 作 FH AD 交 AD 的延长线于点 H. 四边形 CEFG 是正方形,EC=EF , FEC=
5、90, DEC+ FEH=90,又 四边形 ABCD 是正方形, ADC=90, DEC+ ECD=90, ECD= FEH,又 EDC= FHE=90,且 EF=EC, ECD FEH,FH=ED.AD= 4,AE=1,ED=AD-AE= 4-1=3,FH= 3,即点 F 到 AD 的距离为 3. 如图,延长 FH 交 BC 的延长线于点 K. DHK= HDC= DCK=90, 四边形 CDHK 为矩形,HK=CD= 4,FK=FH+HK= 3+4=7.由 知 ECD FEH,EH=CD=AD= 4,CK= 1,BK=BC+CK= 4+1=5, 在 Rt BFK 中, BF= .FK2+B
6、K2= 72+52= 744(3)AE=2+ 或 AE=1.419.如图, ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,且 AE=CF,EF=BD.求证:四边形EBFD 是矩形 .证明: 四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC ,OB=OD,AE=CF ,OE=OF , 四边形 EBFD 是平行四边形 .EF=BD , 平行四边形 EBFD 是矩形 .类型 2 特殊平行四边形的证明10.如图, DB AC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点 .12(1)求证: BC=DE;(2)连接 AD,BE,若要使四边形 DBEA 是矩形,则需给 ABC 的边添加什么条
7、件,为什么?解:(1) E 是 AC 的中点, EC= AC.12DB= AC,DB=EC ,12又 DB EC, 四边形 DBCE 是平行四边形,BC=DE.(2) ABC 满足 AB=BC 时,四边形 DBEA 是矩形 .理由: DB=EC=AE ,DB AC, 四边形 DBEA 是平行四边形,BC=DE ,AB=BC,AB=DE , DBEA 是矩形 .11.(娄底中考)如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD,过 O 点作 EF BD,分别交 AD,BC 于点 E,F.5(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形 BEDF 的形状
8、,并说明理由 .解:(1) OA=OC ,OB=OD, 四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC, EAO= FCO,在 AOE 和 COF 中, EAO= FCO,OA=OC, AOE= COF, AOE COF(ASA).(2)四边形 BEDF 是菱形 .理由: AOE COF,AE=CF ,AD=BC ,DE=BF ,DE BF, 四边形 BEDF 是平行四边形 .OB=OD ,EF BD, 平行四边形 BEDF 是菱形 .类型 3 特殊平行四边形计算与证明的综合12.将两张完全相同的矩形纸片 ABCD,FBED 按如图方式放置, BD 为重合的对角线,重叠部分为四边形 DHBG.(1
9、)试判断四边形 DHBG 为哪种特殊的四边形,并说明理由;(2)若 AB=8,AD=4,求四边形 DHBG 的面积 .解:(1)四边形 DHBG 是菱形 .理由: 四边形 ABCD,FBED 是完全相同的矩形,6 A= E=90,AD=ED,AB=EB,在 DAB 和 DEB 中, AD=ED, A= E,AB=EB, DAB DEB(SAS), ABD= EBD.AB CD,DF BE, 四边形 DHBG 是平行四边形, HDB= EBD, HDB= ABD,DH=BH , DHBG 是菱形 .(2)设 DH=BH=x,则 AH=8-x,在 Rt ADH 中, AD2+AH2=DH2,即 4
10、2+(8-x)2=x2,解得 x=5,即 BH=5, 菱形 DHBG 的面积为 BHAD=54=20.13.在直角三角形 ABC 中, C=90,点 E,F 分别在边 AB,AC 上,将 ABC 沿着直线 EF 折叠,使得 A 点恰好落在 BC 边上的 D 点处,且 ED BC.(1)求证:四边形 AFDE 是菱形;(2)若 CD=2,AC=6,求线段 ED 的长度 .解:(1) ED BC, EDB=90.又 C=90, EDB= C,AC ED, CFD= FDE.由折叠知 A= FDE, A= CFD,DF AE, 四边形 AFDE 是平行四边形 .由折叠可得 AF=DF, 平行四边形 AFDE 是菱形 .7(2)设 CF=x,则由折叠可得 DF=AF=6-x.在 Rt CDF 中, DF2=CF2+CD2,即(6 -x)2=x2+22,解得 x= ,83DF= 6-x= ,103ED=DF= .103
