1、128.2.2 应用举例第 1 课时 解直角三角形的简单应用1通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)2能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活” ，人们常选择以自行车作为代步工具图所示的是一辆自行车的实物图，图是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 和60cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20cm.点 A、 C、 E 在同一条直线上，且 CAB75.你能求出车架档 AD 的长吗？二、合作探究探究点：解直角三角形的简单应用【类型一】 求河的宽度根据网上消息，益阳
2、市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、 B 两点，小张为了测量 A、 B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据： BDA76.1， BCA68.2，CD82 米求 AB 的长(精确到 0.1 米)参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0；sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5.解析：设 AD xm，则 AC( x82)m.在 Rt ABC 中，根据三角函数得到AB2.5( x82)m，在 Rt ABD 中，根据三角函数得到 AB4 x，依此得
3、到关于 x 的方程，进一步即可求解解：设 AD xm，则 AC( x82)m.在 Rt ABC 中，tan BCA ， AB ACtan BCA2.5( x82)在 Rt ABD 中，ABACtan BDA ， AB ADtan BDA4 x，2.5( x82)4 x，解得ABAD2x . AB4 x4 546.7m.4103 4103答： AB 的长约为 546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 3 题【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯
4、臂 AB 长为 30cm，灯罩 BC 长为 20cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的 BAD60.使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少(结果精确到 0.1cm，参考数据：1.732)?3解析：首先过点 B 作 BF CD 于点 F，作 BG AD 于点 G，进而求出 FC 的长，再求出 BG的长，即可得出答案解：过点 B 作 BF CD 于点 F，作 BG AD 于点 G，四边形 BFDG 是矩形， BG FD.在 Rt BCF 中， CBF30， CF BCsin3020 10cm.在 Rt ABG 中，12 BAG60
5、 BG ABsin6030 15 cm， CE CF FD DE1015 2 1215 38.0(cm)32 3 3 3答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题【类型三】 方案设计类问题小锋家有一块四边形形状的空地(如图，四边形 ABCD)，其中AD BC， BC1.6m， AD5.5m， CD5.2m， C90， A53.小锋的爸爸想买一辆长4.9m，宽 1.9m 的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行小锋设计了两种方案，如
6、图和图所示(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；(2)请你利用图再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 )433解析：(1)方案 1，如图所示，在 Rt AGE 中，依据正切函数求得 AG 的长，进而求得 DG 的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案 2，如图所示，在 Rt ALH 中，依据正切函数求得 AL 的长，进而求得 DL 的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于 AB停放，如图，在 Rt AMN 中，依据正弦函数求得 AM 的长，进而求得 DM 的长在 RtPDM 中，依据余弦函数求得 PM 的长，然
7、后与汽车的长度比较即可解：(1)如图，在 Rt AGE 中， A53， AG m3.68m， DG AD AG5.53.681.82m1.9m，故此方案不合理；EGtan A 4.943如图，在 Rt ALH 中， A53，LH1.9m， AL 1.43m， DL AD AL5.51.434.07m4.9m，故此LHtan531.943方案不合理；(2)如图，过 DA 上一点 M 作 MN AB 于点 N，过 CD 上一点 P 作 PQ AB 于点 Q，连PM，在 Rt AMN 中， A53，MN1.9m， AM 2.4， DM5.52.43.1m.在 Rt PDM 中，MNsin531.90.8 PMD A53， DM3.1m， PM 5.1m4.9m，故此方案合理DMcos533.10.6方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题三、板书设计1求河宽和物体的高度；2其他应用类问题本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.
