1、1课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质 （小题练）A 级124 提速练一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220A y x B y x45 54C y x D y x15 255解析：选 D 在双曲线 1 中， a5， b2 ，其渐近线方程为 y x，x225 y220 5 255故选 D.2(2018福州模拟)已知双曲线 C 的两个焦点 F1， F2都在 x 轴上，对称中心为原点O，离心率为 .若点 M 在 C 上，且 MF1 MF2， M 到原点的距离为 ，则 C 的方程为( )3 3A. 1 B. 1x24 y28 y24 x28C x2
2、 1 D y2 1y22 x22解析：选 C 由题意可知， OM 为 Rt MF1F2斜边上的中线，所以| OM| |F1F2| c.由12M 到原点的距离为 ，得 c ，又 e ，所以 a 1，所以 b2 c2 a2312.故3 3ca 3双曲线 C 的方程为 x2 1.故选 C.y223已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A2 B2 2C8 D2 3解析：选 B 根据已知条件得 c ，则点 在椭圆16 m2 (16 m2，22 16 m2) 1( m0)上， 1，可
3、得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 24已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，准线为 l.若射线 y2( x1)( x1)与 C， l 分别交于 P， Q 两点，则 ( )|PQ|PF|A. B22C. D552解析：选 C 由题意，知抛物线 C： y24 x 的焦点 F(1,0)，设准线 l： x1 与 x 轴的交点为 F1.过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 P1(图略)，由Error!得点 Q 的坐标为(1，4)，所以| FQ|2 .又| PF| PP1|，所以 ，故选5|PQ|PF| |PQ|PP1| |QF|FF1| 252 5C.5(2018湘
4、东五校联考)设 F 是双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，过 F 作双x2a2 y2b2曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于 P， Q，若 3 ，则双曲线的离心FP FQ 率为( )A. B.62 52C. D.3102解析：选 C 不妨设 F( c,0)，过 F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y (x c)，与 y x 联立可得 xQ ，与 y x 联立可得 xP ， 3ab ba a2c ba a2cb2 a2 FP ， c3 ， a2c2( c22 a2)(2c23 a2)，两边同时除以 a4得，FQ a2cb2 a2 ( a2c c)e44 e230， e1， e .
5、故选 C.36(2019 届高三山西八校联考)已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐x2a2 y2b2 5近线方程为 2xy0，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：选 A 法一：易知双曲线 1( a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线x2a2 y2b2方程为 2xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2 a2 b2，可ba 5 5得 a2， b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216法二：易知双曲线的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为
6、2xy0，可设双曲线的方程为 x2 ( 0)，即 1，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，所以y24 x2 y24 5 5 4 20， 4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y21637.过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆x2a2 y2b2C 于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若 0， b0)的左、右两个焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若|MF1| MF2|2 b，该双曲线的离心率为 e，则 e2( )A2 B.2 12C. D.3 222 5 1
7、2解析：选 D 由Error!得Error!即点 M(a， b)，则| MF1| MF2| c a 2 b22 b，即 2 ， 2 c a 2 b2 2c2 2ca 2c2 2ca c2 a2 2e2 2e 2e2 2e4，化简得 e4 e210，故 e2 ，故选 D.e2 15 1210(2018石家庄一模)已知直线 l： y2 x3 被椭圆 C： 1( ab0)截得的x2a2 y2b2弦长为 7，有下列直线： y2 x3; y2 x1; y2 x3； y2 x3.其中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 C 易知直线 y2 x3 与直线
8、l 关于原点对称，直线 y2 x3 与直线 l关于 x 轴对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.故选 C.11(2018洛阳尖子生统考)设双曲线 C： 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 Cx216 y29的渐近线的垂线，垂足分别为 M， N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则的值为( )d|PF|A. B.34 45C. D无法确定54解析：选 B 双曲线 C： 1 中， a4， b3， c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方x216 y29程为 y x.不妨设 M 在直线 y x 上
9、， N 在直线 y x 上，则直线 MF 的斜率为 ，34 34 34 43其方程为 y (x5)，设 M ，代入直线 MF 的方程，得 t (t5)，解得 t43 (t， 34t) 34 43，即 M .由对称性可得 N ，所以直线 MN 的方程为 x .设 P(m， n)，165 (165， 125) (165， 125) 165则 d ， 1，即 n2 (m216)，则| PF| |5m16|.故|m165| m216 n29 916 m 5 2 n2 14 ，故选 B.d|PF|m 165|14|5m 16| 4512已知椭圆 1， F 为其右焦点， A 为其左顶点， P 为该椭圆上的
10、动点，则能x29 y255够使 0 的点 P 的个数为( )PA PF A4 B3C2 D1解析：选 B 由题意知， a3， b ， c2，则 F(2,0)， A(3,0)当点 P 与点 A 重5合时，显然 0，此时 P(3,0)PA PF 当点 P 与点 A 不重合时，设 P(x， y)， 0 PA PF，PA PF 即点 P 在以 AF 为直径的圆上，则圆的方程为 2 y2 .(x12) 254又点 P 在椭圆上，所以 1，x29 y25由得 4x29 x90，解得 x3(舍去)或 ，34则 y ，此时 P .534 (34， 534)故能够使 0 的点 P 的个数为 3.PA PF 二、
11、填空题13(2018陕西模拟)若直线 2x y c0 是抛物线 x24 y 的一条切线，则c_.解析：由 x24 y，可得 y ，由于直线 2x y c0 的斜率 k2，因此令 2，x2 x2得 x4，代入 x24 y 得 y4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得 84 c0，故c4.答案：414(2018益阳、湘潭联考)已知 F 为双曲线 1( a0， b0)的左焦点，定点 Ax2a2 y2b2为双曲线虚轴的一个端点，过 F， A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为B，若 3 ，则此双曲线的离心率为_AB FA 解析： F( c,0)，不妨令 A(0， b)，得直线 A
12、F： y x b.根据题意知，直线 AF 与渐bc6近线 y x 相交，联立得Error!消去 x 得， yB .ba bcc a由 3 ，得 yB4 b，AB FA 所以 4 b，化简得 3c4 a，离心率 e .bcc a 43答案：4315(2018广州模拟)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A， B两点若| AF|6，| BF|3，则 p 的值为_解析：设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 F，分别过 A， B 作准线的垂线，垂足为A， B(图略)，设直线 AB 交准线于点 C，则|AA| AF|6，| BB| BF|3，| AB|9，| FF| p
13、， ，|BB |AA | |BC|AC|即 ，解得| BC|9，36 |BC|BC| 9又 ，即 ，解得 p4.|BB |FF | |BC|CF| 3p 912答案：416(2018南昌质检)已知抛物线 y22 x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则| PA| PF|取最小值时，点 P 的坐标为_解析：将 x3 代入抛物线方程 y22 x，得 y .6 2， A 在抛物线内部6如图，设抛物线上点 P 到准线 l： x 的距离为 d，由定义知12|PA| PF| PA| d，则当 PA l 时，| PA| d 有最小值，最小值为 ，即| PA| PF|的72最小值为 ，
14、此时点 P 纵坐标为 2，代入 y22 x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)72答案：(2,2)B 级难度小题强化练1(2018郑州模拟)已知椭圆 1( ab0)的左顶点和上顶点分别为 A， B，左、x2a2 y2b2右焦点分别是 F1， F2，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 PF2，则椭圆的离心率的平方为( )7A. B.32 3 52C. D. 1 52 3 12解析：选 B 由题意得， A( a,0)， B(0， b)，由在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 PF2，得点 P 是以点 O 为圆心，线段 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2与线段 AB 的
15、切点，连接 OP，则 OP AB，且 OP c，即点 O 到直线 AB 的距离为 c.又直线AB 的方程为 y x b，整理得 bx ay ab0，点 O 到直线 AB 的距离 d c，两ba abb2 a2边同时平方整理得， a2b2 c2(a2 b2)( a2 b2)(a2 b2) a4 b4，可得 b4 a2b2 a40，两边同时除以 a4，得 2 10，可得 ，则(b2a2) b2a2 b2a2 1 52e2 1 1 ，故选 B.c2a2 a2 b2a2 b2a2 1 52 3 522.(2018益阳、湘潭联考)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点F 的直线交抛物线于点 A， B
16、，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且| AF|4，则线段 AB 的长为( )A5 B6C. D.163 203解析：选 C 法一：如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD l 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，| AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则| AF| x1 x114，所以 x13，解得 y12 ，所以p2 3A(3,2 )，又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率 k ，所以直线 AF 的方程为3233 1 3y
17、 (x1)，代入抛物线方程 y24 x，得 3x210 x30，所以3x1 x2 ，| AB| x1 x2 p .故选 C.103 163法二：同法一得抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则|AF| x1 x114，所以 x13，又 x1x2 1，所以 x2 ，所以p2 p24 138|AB| x1 x2 p .故选 C.1633(2018长郡中学模拟)已知椭圆 C： 1，若直线 l 经过 M(0,1)，与椭圆交x29 y25于 A， B 两点，且 ，则直线 l 的方程为( )MA 23MB A y x1 B y x112 13C y x1 D y x12
18、3解析：选 B 依题意，设直线 l： y kx1，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)则由Error!消去 y，整理得(9 k25) x218 kx360， (18 k)2436(9 k25)0，则Error!由此解得 k ，即直线 l 的方程为 y x1，故选 B.13 134(2018齐鲁名校联考)已知双曲线 C 过点 A(2 ， )，渐近线为 y x，抛物2 552线 M 的焦点与双曲线 C 的右焦点 F 重合， Q 是抛物线上的点 P 在直线 x4 上的射影，点B(4,7)，则| BP| PQ|的最小值为( )A6 B5 2C15 D152 2解析：选 D 由题意，双曲线 C
19、的渐近线为 y x，故可设双曲线 C 的方程为522 2 ( 0)，即 ( 0)又点 A(2 ， )在双曲线上，所以(x2) (y5) x24 y25 2 5 ，解得 1，故双曲线 C 的方程 22 24 5 25为 1，其右焦点为 F(3,0)，所以抛物线 M 的方程x24 y25为 y212 x.如图，作出抛物线 M，其准线为 x3，显然点 B 在抛物线的上方设 PQ与直线 x3 交于点 H，连接 PF，则由抛物线的定义可得| PH| PF|，所以|PQ| PH| QH| PF|1，故| BP| PQ| BP| PF|1，显然，当 P 为线段 BF 与抛物线的交点时，| BP| PQ|取得
20、最小值，且最小值为|BF|1 15 1.所以| BP| PQ|的最小值为 15 .故选 D. 4 3 2 72 2 25(2018沈阳模拟)已知抛物线 y24 x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点，则弦 AB9所在直线的方程是_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x2，则 y1 y22，又点 A， B 在抛物线 y24 x 上，所以Error! 两式相减，得( y1 y2)(y1 y2)4( x1 x2)，则 2，y1 y2x1 x2 4y1 y2即直线 AB 的斜率 k2，所以直线 AB 的方程为 y12( x1)，即 2x y10.答案：2 x y106
21、已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)， Px2a2 y2b2是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2,4，则 的最小值的取值PF1 PF2 范围是_解析：设 P(m， n)，则 1，m2a2 n2b2即 m2 a2 .(1n2b2)又 F1(1,0)， F2(1,0)，则 (1 m， n)， (1 m， n)，PF1 PF2 n2 m21 n2 a2 1PF1 PF2 (1 n2b2) n2 a21 a21，(1a2b2)当且仅当 n0 时取等号，所以 的最小值为 a21.PF1 PF2 由 2 4，得 a ，1a 14 12故 a21 ，1516 34即 的最小值的取值范围是 .PF1 PF2 1516， 34答案： 1516， 34
