1、1归纳探索专题归纳探索型问题是根据同学们已有的知识基础和认知特点设置，突出数学的生活化，经历探索事物间的数量关系. 此类问题既能充分地考查同学们对基础知识的熟悉程度，又能较好地考查大家的观察、分析、比较、概括及思维发展能力等. 数字归纳型例 1 （2015 东莞）观察下列一组数： ， ， ， ， ，根据该组数的排315279415列规律，可推出第 10 个数是_.分析：由分子 1，2，3，4，5，可 得出第 10 个数的分子为 10；由分母3，5，7，9，11 ，可得出第 10 个数的分母为 1210 21，从而得到结论.解： .0评注：解决此类问题的关键是观察题设给出的数组，挖掘出隐藏其中的
2、数字 间的规律，进而运用规律解决问题.例 2 （2015淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数 565 位于第 a 行，第 b 列，则 ab_.分析：因为 56541411，所以正整数 565 位于第 142 行，即 a142；因为奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加. 偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，所以正整数565 位于第五列，即 b5，所以 ab1425147.解：147.评注：本题考查的是数列规律问题，解决此类型问题一般要从行、列两方面观察、归纳、总结规律，比如本题观察 “行”可知每行都有 4 个数，观察“列”可知奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐
3、减小.跟踪训练：1.（2015德州）一组数 1，1，2，x，5，y满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为（ ）A.8 B.9 C.13 D.152.（2015泰安）下面每个 表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定 x 的值为（ ）A.135 B.170 C.209 D.252 循环规律型2例 3 （2015河南）如图 1 所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O 2，O 3， 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是（ ）A.
4、（2014,0） B.（2015，-1） C . （2015,1） D. （2016,0）图 1分析：半径为一个单位长度的半圆的周长为 21，因为点 P 从原点 O 出发，2沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，所以 P 点 1 秒走 个半圆. 2当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 1 秒时，点 P 的坐标为（1，1），当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 2 秒时，点 P 的坐标为（2，0），当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 3 秒时，点 P 的坐标为（3，-1），当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运
5、动时间为 4 秒时，点 P 的坐标为（4，0），当点 P 从原点 O 出发，沿这条 曲线向右运动，运动时间为 5 秒时，点 P 的坐标为（5，1），当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 6 秒 时，点 P 的坐标为（6，0），因为 201545033，所以 P2015的坐标为（2015，1）.解：B评注：解决此类问题的常见思路是：先依次列举出问题的一部分（比如本题依次计算出 1 到 6 秒的点 P 的坐标），观察找出隐含其间的循环节（如本题是 4 个一循环），然后用问题中的数据除以循环节，根据余数确定问题处于循环节中哪一节（如本题余数是 3，说明 2015 秒时，点 P
6、的坐标形式应与 3 秒时点 P 的坐标形式相同）.例 4 （2015邵阳）如图 2，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC3，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至图的位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图的位置，以此类推，这样旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A.2015 B.3019.5 C.3018 D.30243图 2分析：先求出每一次转动的路线的长，易发现每 4 次一循环，然后计算出每一个完整循环中点 A 所经过的路线长，最后计算 2015 次里面完整循环的次数即可解决问题.解：因为转动一次点 A 的路线长是 2，转动第
7、二次的路线长是1809，251809转动第三次的路线长是 ，转动第四次的路线长是 0，转动第五次的路线长是2318092，依次类推，每四次一循环，故顶点 A 转动 4 次经过的路线长是 6. 253因为 201545033，所以顶点 A 转动 2015 次所经过的路程之和是 65043024，故选 D.评注：分别计算出转动四次所经过的路线长是解决此类型问题的关键.跟踪训练：1.根据如图中箭头的指向规律，从 2013 到 2014 再到 2015，箭头的方向是以下图示中的（ ）A B C D第 1 题图2.（2015甘孜州）如图，正方形 A1A2A3A4，A 5A6A7A8，A 9A10A11A
8、12，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1， A2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7， A8，A 9，A 10，A 11，A 12，）的中心均在坐标原点 O， 各边均与轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2,4,6，则顶点 A20的坐标为_.第 2 题图图形归纳型例 5 （2015重庆）下列图形都是由几个黑色 和白色的正方形按一定规律组成，图中 有 2 个黑色正方形，图中有 5 个黑色正方形，图中有 8 个黑色正方形，图中有 11个黑色正方形，依此规律，图中黑色正方形的个数是（ ）A.32 B.29 C.28 D.264分析：观察图形，易发现图中有 1 列正
9、方形，并且这一列上有黑色正方形 2 个，故黑色正方形的个数和图形的序号间的关系可以表示成 2102 个黑色正方形；图中有 3 列正方形，其中有两列上各有黑色正方形 2 个，另一列上有黑色正方形 1个，故黑色正方形的个数和图形的序号间的关系可以表示成 2215 个黑色正方形；图有 5 列正方形，其中有三列上各有黑色正方形 2 个，另两列上各有黑色正方形 1个，故黑色正方形的个数和图形的序号间的关系可以表示成 2328 个黑色正方形；图有 7 列正方形，其中有四列上各有黑色正方形 2 个，另三列上各有黑色正方形 1个，故黑色正方形的个数和图形的序号间的关系可以表示成 24311 个黑色正方形；图应
10、有 210119 列正方形，其中有十列上各有黑色正方形 2 个，另九列上各有黑色正方形 1 个，故黑色正方形的个数和图形的序号间的关系可以表示成 210929 个黑色正方形.解：B评注：解决此类问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数式的对应关系，总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.例 7 （2015徐州）如图 3，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为_.图 3分析：先依据正方形的性质依次求出线段 AC、AE 和 AG
11、的长度，然后观察、分析这三个数据，找出隐含其间的规律，最后运用规律确定问题的答案.解：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ABBC1，B90，所以 AC21 21 22，所以 AC .2同理可求 AE（ ） 2，AG（ ） 3，所以第 n 个正方形的边长 an（ ） n-1，故应填（ ） n-1.评注：此类问题的求解思路一般是：先利用几何图形的性质求出图形中给出的线段长（即 AC、AE 和 AG 的长 度） ，从中寻找规律，然后再运用规律解决问题 . 跟踪训练：1.（2015益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第 1 个图案中5有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小
12、棒，则第 n 个图案中有_根小棒.第 1 题图2.（2015武汉模拟）如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB60，连接对角线AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使D 1AC60，连接 AC1，在以 AC1为边作第三个菱形 AC1C2D2，使D 2AC160；，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）A.9 B. C.27 D.39 327第 2 题图 第 3 题图3.（2015赤峰）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花“ ”摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第 n 个图形中小梅花的个数是_. 归纳探索型专题数字归纳型：1.A 2.C 3.15 循环规律型：1.D 2.（5，5） 图形归纳型：1.5n1 2.B 3.（2n1）（n1）
