1、1解直角三角形一.选择题 1 （2018重庆市 B 卷） （4.00 分）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点E（A，B，C，D，E 均在同一平面内） 在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45） （ ）A21.7 米 B22.4 米 C27.4 米 D28.8 米【分析】作 BMED 交 ED 的
2、延长线于 M，CNDM 于 N首先解直角三角形 RtCDN，求出CN，DN，再根据 tan24= ，构建方程即可解决问题；【解答】解：作 BMED 交 ED 的延长线于 M，CNDM 于 N在 RtCDN 中， = = ，设 CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k） 2+（4k） 2=100，k=2，CN=8，DN=6，四边形 BMNC 是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在 RtAEM 中，tan24= ，0.45= ，AB=21.7（米） ，故选：A【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造2出直角三角形是解答此题的
3、关键2 （2018吉林长春3 分）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A.B在同一水平面上） 为了测量 A.B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 ，则 A.B 两地之间的距离为（ ）A800sin 米 B800tan 米 C 米 D 米【分析】在 RtABC 中，CAB=90，B=，AC=800 米，根据 tan= ，即可解决问题；【解答】解：在 RtABC 中，CAB=90，B=，AC=800 米，tan= ，AB= = 故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练
4、掌握基本知识，属于中考常考题型3 （2018江苏常州2 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出 sinAOB 的值是（ ）A B C D【分析】如图，连接 AD只要证明AOB=ADO，可得 sinAOB=sinADO= = ；【解答】解：如图，连接 ADOD 是直径，3OAD=90，AOB+AOD=90，AOD+ADO=90，AOB=ADO，sinAOB=sinADO= = ，故选：D【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、
5、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目二.填空题1. （2018湖北江汉3 分）我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船 B 在海岛A，C 附近捕鱼作业，已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45方向上在渔船 B 上测得海岛 A位于渔船 B 的北偏西 30的方向上，此时海岛 C 恰好位于渔船 B 的正北方向 18（1+ ）n mile 处，则海岛 A，C 之间的距离为 18 n mile【分析】作 ADBC 于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD.CD，根据题意列式计算即可【解答】解：作 ADBC 于 D，设 AC=x 海里，在 RtACD 中，A
6、D=ACsinACD= x，则 CD= x，在 RtABD 中，BD= x，4则 x+ x=18（1+ ） ，解得， x=18 ，答：A，C 之间的距离为 18 海里故答案为：182. （2018湖北荆州3 分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在塔底低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为 40 米其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 A 处测得塔顶的仰角为 30，再向古塔方向行进 a 米后到达 B 处，在 B 处测得塔顶的仰角为 45（如图所示） ，那么 a 的值约为 米（ 1.73 ，结果精确到 0.1） 【解答】解：如图，设 CD 为塔身的高，延
7、长 AB 交 CD 于 E，则 CD=40，DE=7，CE=33，CBE=45=BCE，CAE=30，BE=CE=33，AE=a+33，tanA= ，tan30= ，即 33 =a+33，解得 a=33（ 1）24.1，a 的值约为 24.1 米，故答案为：24.13(2018辽宁省葫芦岛市) 如图，某景区的两个景点 A.B 处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿 MN 方向水平飞行进行航拍作业，MN 与 AB 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 C 处时、测得景点 A 的俯角为 45，景点 B 的俯角为知 30，此时 C 到地面的距离CD 为 100 米，则两景点 A.B 间的距离为 100+
8、100 米（结果保留根号） 5【解答】解：MCA=45，NCB=30，ACD=45，DCB=60，B=30CD=100 米，AD=CD=100 米，D B= 米，AB=AD+DB=100+100 （米） 故答案为：100+100 4. （2018湖北咸宁3 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为45，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110m，那么该建筑物的高度 BC 约为_m（结果保留整数， 1.73 ） 【答案】300【解析】 【分析】在 RtABD 中，根据正切函数求得 BD=ADtanBAD，在 RtACD 中，求得 C
9、D=ADtanCAD，再根据 BC=BD+CD，代入数据计算即可【详解】如图，在 RtABD 中，AD=110，BAD=45，BD= ADtan45 =110（m） ，在 RtACD 中，CAD=60，CD=ADtan60=110 190（m） ，BC=BD+CD=110+190=300（m） ，即该建筑物的高度 BC 约为 300 米，故答案为：300【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键5.（2018辽宁大连3 分）如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处测得旗杆顶端 A
10、 的仰角为 53，若测角仪的高度是 1.5m，则旗杆 AB 的高度约为 m （精确到 0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）6解：过 D 作 DEAB，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53，ADE=53BC=DE=6m，AE=DEtan5361.337.98m，AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m9.5m 故答案为：9.5三.解答题1. （2018广西贺州8 分）如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45的方向上有一灯塔B游轮以 20 海里/时的速度向正东方向航行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15的
11、方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果精确到 1 海里，参考数据：1.41 ， 1.73）【解答】解：过点 C 作 CMAB，垂足为 M，在 RtACM 中，MAC=9045=45，则MCA=45，AM=MC，由勾股定理得：AM 2+MC2=AC2=（20 2） 2，解得：AM=CM=40，ECB=15，BCF=9015=75，B=BCFMAC=7545=30，7在 RtBCM 中，tanB=tan30= ，即 = ，BM=40 ，AB=AM+BM=40+40 40+401.73109（海里） ，答：A 处与灯塔 B 相距 109 海里2. （2018广西梧州8 分）随着人们生活水
12、平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10，AB 与水平面垂直又在瀑布下的水平面测得 CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CFAB 于点 F） 斜坡 CD=20m，坡角ECD=40求瀑布 AB 的高度（参考数据： 1.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18）【分析】过点 D 作 DMCE，交 CE 于点 M，作
13、DNAB，交 AB 于点 N，在 RtCMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度，再在 RtBDN、RtADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度【解答】解：过点 D 作 DMCE，交 CE 于点 M，作 DNAB，交 AB 于点 N，如图所示在 RtCMD 中，CD=20m，DCM=40，CMD=90，CM=CDcos4015.4m，DM=CDsin4012.8m，DN=MF=CM+CG+GF=60m在 RtBDN 中，BDN=10，BND=90，DN=60m，BN=DNtan1010.8m在
14、 RtADN 中，ADN=30，AND=90，DN=60m，AN=DNtan3034.6m8AB=AN+BN=45.4m答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键3. （2018湖北十堰7 分）如图，一艘海轮位于灯塔 C 的北偏东 45 方向，距离灯塔 100海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 30方向上的 B 处，求此时船距灯塔的距离（参考数据： 1.414， 1.732，结果取整数） 【分析】过 C 作 CD 垂直于 AB，根据题意求出
15、AD 与 BD 的长，由 AD+DB 求出 AB 的长即可【解答】解：过 C 作 CDAB，在 RtACD 中，A=45，ACD 为等腰直角三角形，AD=CD= AC=50 海里，在 RtBCD 中，B=30，BC=2CD=100 海里，根据勾股定理得：BD=50 海里，则 AB=AD+BD=50 +50 193 海里，则此时船锯灯塔的距离为 193 海里9【点评】此题考查了解直角三角形方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键4.（2018云南省昆明7 分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌 CD她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42，测得隧道底
16、端 B处的俯角为 30（B，C，D 在同一条直线上） ，AB=10m，隧道高 6.5m（即 BC=65m） ，求标语牌 CD 的长（结果保留小数点后一位） （参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90， 1.73）【分析】如图作 AEBD 于 E分别求出 BE.DE，可得 BD 的长，再根据 CD=BDBC 计算即可；【解答】解：如图作 AEBD 于 E在 RtAEB 中，EAB=30，AB=10m，BE= AB=5（m） ，AE=5 （m） ，在 RtADE 中，DE=AEtan42=7.79（m） ，BD=DE+BE=12.79（m） ，CD=BDBC=12.79
17、6.56.3（m） ，答：标语牌 CD 的长为 6.3m【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助10线面构造直角三角形解决问题5.（2018浙江省台州8 分）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m当起重臂 AC 长度为 9m，张角HAC 为 118时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】作 CEBD 于 F，AFCE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，则EF=
18、AH=3.4m，HAF=90，再计算出CAF=28，则在 RtACF 中利用正弦可计算出 CF，然后计算 CF+EF 即可【解答】解：作 CEBD 于 F，AFCE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAHHAF=11890=28，在 RtACF 中，sinCAF= ，CF=9sin28=90.47=4.23，CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m） ，答：操作平台 C 离地面的高度为 7.6m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） ，然后利用勾股定
19、理和三角函数的定义进行几何计算6 （2018辽宁省盘锦市）两栋居民楼之间的距离 CD=30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层， 每层楼高 3 米11（1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部 【解答】解：（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FHBD 于 H，由图可知，FH=CD=30mBFH=30在 RtBFH 中，BH= ， ，答：此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层；（2）连接 BC1BD=310=30=CD，BCD=45，答：当太阳
20、光线与水平面的夹角为 45 度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部7 （2018辽宁省抚顺市） （12.00 分）如图，BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN 分别是 37和 60（图中的点 A.B.C.D.M、N 均在同一平面内，CMAN） （1）求灯杆 CD 的高度；（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米） （参考数据： =1.73sin37060，cos370.80，tan370.75）【分析】 （1）延长 DC 交 AN 于 H只要证明 BC=
21、CD 即可；（2）在 RtBCH 中，求出 BH、CH，在 RtADH 中求出 AH 即可解决问题；【解答】解：（1）延长 DC 交 AN 于 H12DBH=60，DHB=90，BDH=30，CBH=30，CBD=BDC=30，BC=CD=10（米） （2）在 RtBCH 中，CH= BC=5，BH=5 8.65，DH=15，在 RtADH 中，AH= = =20，AB=AHBH=208.65=11.4（米） 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型8. （2018呼和浩特8 分）如图，一座山的一段斜坡 BD 的长
22、度为 600 米，且这段斜坡的坡度 i=1：3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比） 已知在地面 B处测得山顶 A 的仰角为 33，在斜坡 D 处测得山顶 A 的仰角为 45求山顶 A 到地面 BC的高度 AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作 DHBC 于 H设 AE=xDH：BH=1：3，在 RtBDH 中，DH 2+（3DH） 2=6002，13DH=60 ，BH=180 ，在 RtADE 中，ADE=45，DE=AE=x，又 HC=ED，EC=DH，HC=x，EC=60 ，在 RtABC 中，tan33= ，x= ，AC=AE+EC=
23、 +60 = 答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是 米9. （2018广安8 分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点 C 到公路的距离 CD=200m，检测路段的起点 A 位于点 C 的南偏东 60方向上，终点 B 位于点 C 的南偏东 45方向上一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由 A 处行驶到 B 处的时间为 10s问此车是否超过了该路段 16m/s 的限制速度？（观测点 C 离地面的距离忽略不计，参考数据：1.41， 1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出 DB，DA，进而解答即可【解答】解：由
24、题意得：DCA=60，DCB=45，在 RtCDB 中，tanDCB= ，解得：DB=200，在 RtCDA 中，tanDCA= ，解得：DA=200 ，AB=DADB=200 200146 米，轿车速度 ，答：此车没有超过了该路段 16m/s 的限制速度【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数14求出 AD 与 BD 的长度，难度一般10. （2018莱芜9 分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架 AB 的长是 0.8m，A 端到地面的距离 AC 是 4m，支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65小明在水池的外沿 D 测得支架 B 端的仰角是 45，在水池的内
25、沿 E 测得支架 A 端的仰角是 50（点 C.E.D 在同一直线上） ，求小水池的宽 DE （结果精确到 0.1m） （sin650.9，cos650.4，tan501.2）【分析】过点 B 作 BFAC 于 F，BGCD 于 G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】解：过点 B 作 BFAC 于 F，BGCD 于 G，在 RtBAF 中，BAF=65，BF=ABsinBAF=0.80.9=0.72，AF=ABcosBAF=0.80.4=0.32，FC=AF+AC=4.32，四边形 FCGB 是矩形，BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，BDG=45，BDG=GBD，GD=G
26、B=4.32，CD=CG+GD=5.04，在 RtACE 中，AEC=50，CE= ，DE=CDCE=5.043.33=1.711.7，答：小水池的宽 DE 为 1.7 米【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形11 （2018江苏镇江6 分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 AB，CD，大楼的底部B，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离 BD 长为 24 米，小明在点 E（B，E，D 在一条直线上）处测得教学楼 AB 顶部的仰角为 45，然后沿 EB 方向前进 8 米到达点 G 处，测得教学15
27、楼 CD 顶部的仰角为 30已知小明的两个观测点 F，H 距离地面的高度均为 1.6 米，求教学楼 AB 的高度 AB 长 （精确到 0.1 米）参考值： 1.41， 1.73【解答】解：延长 HF 交 CD 于点 N，延长 FH 交 AB 于点 M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设 AM=xm，则 CN=xm，在 RtAFM 中，MF= ，在 RtCNH 中，HN= ，HF=MF+HNMN=x+ x24，即 8=x+ x24，解得，x11.7，AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼 AB 的高度
28、 AB 长 13.3m12 （2018江苏常州8 分）京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的） ，如图，在岸边分别选定了点 A.B 和点 C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30，DBA=60，求该段运河的河宽（即 CH的长） 【分析】过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中，设 CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH 与 BE，由 AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，HE=CD=40m，设 CH=DE=xm，在 RtBDE 中，DBA=60，16BE= xm，在 RtACH 中，BAC=30，AH= xm，由 AH+HE+EB=AB=160m，得到 x+40+ x=160，解得：x=30 ，即 CH=30 m，则该段运河的河宽为 30 m【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键
