1、1高考大题专项四 高考中的立体几何1.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1平面 ABC,各棱长均为 2,D,E,F,G 分别是棱 AC,AA1,CC1,A1C1的中点 .(1)求证:平面 B1FG平面 BDE;(2)求三棱锥 B1-BDE 的体积 .2.(2018 安徽马鞍山质检二,17)如图,在三棱台 ABC-A1B1C1中, AB=BC=BB1=4,A1B1=B1C1=2,且 B1B面ABC, ABC=90,D,G 分别为 AC,BC 的中点, E,F 为 A1C1上两动点,且 EF=2.(1)求证: BD GE;(2)求四面体 B-GEF 的体积 .3.(2018 江西新余二模
2、)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面 AA1B1B平面 ABC,D 是 AC 的中点 .(1)求证: B1C平面 A1BD;(2)若 A1AB= ACB=60,AB=BB1,AC=2,BC=1,求三棱锥 C1-ABD 的体积 .24.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB平面 BCC1B1, BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D 为 CC1的中点 .3(1)求证: DB1平面 ABD;(2)求点 A1到平面 ADB1的距离 .5.(2018 北京通州三模,18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAB平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PAB 为等边三角形
3、 E 是 PB 中点,平面 AED 与棱 PC 交于点 F.(1)求证: AD EF;(2)求证: PB平面 AEFD;(3)记四棱锥 P-AEFD 的体积为 V1,四棱锥 P-ABCD 的体积为 V2,直接写出 的值 .126.(2017 天津,文 17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AD平面 PDC,AD BC,PD PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值;(2)求证: PD平面 PBC;(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 .3高考大题专项四 高考中的立体几何1.(1)证明 连接 DG,A1C.D ,G 分别是
4、 AC,A1C1的中点,DG AA1 BB1, 四边形 BB1GD 是平行四边形,B 1G BD.又 B1G平面 EBD,BD平面 EBD,B 1G平面 EBD.D ,E,F,G 分别是棱 AC,AA1,CC1,A1C1的中点,GF A1C,A1C DE,GF ED.又 GF平面 EBD,ED平面 EBD,GF 平面 EBD.又 B1G GF=G,B1G平面 B1FG,GF平面 B1FG, 平面 B1FG平面 EBD.(2)解 过点 D 作 DH AB 交 AB 于点 H,AA 1平面 ABC,AA1平面 A1ABB1, 平面 A1ABB1平面 ABC.又平面 A1ABB1平面 ABC=AB,
5、DH AB,DH平面 ABC,DH 平面 A1ABB1.AB=BC=AC= 2,DA= 1,BD= ,3DH= .=32 DH= 22 .1-=-1=131 1312 32=332.(1)证明 取 AB 的中点 O,连接 OG,OA1,C1G,AB=BC ,D 为 AC 的中点,BD AC,又 AC A1C1,BD A1C1,BG B1C1,且 BG=B1C1, 四边形 BGC1B1为平行四边形,GC 1 BB1.同理,四边形 OBB1A1为平行四边形, GC 1 OA1. 四边形 OGC1A1为平行四边形,B 1B面 ABC,C 1G面 ABC,C 1G BD,又 A1C1 C1G=C1,B
6、D 面 A1C1GO,GE 面 A1C1GO,BD GE.(2)解 令 OG 与 BD 交于点 M,C 1G面 ABC,C1G面 A1C1GO,4 面 A1C1GO面 ABC, 面 A1C1GO面 ABC=OG,OG AC,BD AC,BM OG,BM 面 A1C1GO,BM 为点 B 到面 A1C1GO 的距离,即 BM= ,2又 S GEF= GC1EF= 42=4,12 12V B-GEF= BMS GEF= 4= .13 132 4233.解 (1)连接 AB1交 A1B 于点 O,则 O 为 AB1的中点,D 是 AC 的中点, OD B1C.又 OD平面 A1BD,B1C平面 A1
7、BD,B 1C平面 A1BD.(2)AC= 2,BC=1, ACB=60,AB 2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=3,AB= .3取 AB 中点 M,连接 A1M,AB=BB 1=AA1, A1AB=60, ABA1为等边三角形 .A 1M AB,且 A1M= ,32 平面 AA1B1B平面 ABC,平面 AA1B1B平面 ABC=AB,A1M平面 AA1B1B,A 1M平面 ABC,S ABD= S ABC= ,12 34 S ABDA1M= .1-=1-=13 384.(1)证明 在平面四边形 BCC1B1中,BC=CD=DC 1=1, BCD=60,BD= 1.B 1D= ,
8、BB1=2,3 BDB1=90,B 1D BD.AB 平面 BB1C1C,AB DB1,B 1D 与平面 ABD 内两相交直线 AB 和 BD 同时垂直,DB 1平面 ABD.(2)解 对于四面体 A1-ADB1,A1到直线 DB1的距离即为 A1到平面 BB1C1C 的距离, A1到 B1D 的距离为 2,设 A1到平面 AB1D 的距离为 h, ADB1为直角三角形, ADDB1= ,1=12 1253=152 h= h,1-1=13152 156 22=2,D 到平面 AA1B1的距离为 ,11=12 325 2 ,-11=13 32=33 ,1-1=-11 ,解得 h= .156 =3
9、3 255 点 A1到平面 ADB1的距离为 .2555.(1)证明 因为 ABCD 为正方形,所以 AD BC.因为 AD平面 PBC,BC平面 PBC,所以 AD平面 PBC.因为 AD平面 AEFD,平面 AEFD平面 PBC=EF,所以 AD EF.(2)证明 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD AB.因为平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD=AB,AD平面 ABCD,所以 AD平面 PAB.因为 PB平面 PAB,所以 AD PB.因为 PAB 为等边三角形, E 是 PB 中点,所以 PB AE.因为 AE平面 AEFD,AD平面 AEFD,AE AD=A
10、所以 PB平面 AEFD.(3)解 由(1)知, V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=VC-AEFD=V1,V BC-AEFD= V1,则 VP-ABCD=V1+ V1= V1,53 53 83 .12=386.(1)解 如图,由已知 AD BC,故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 .因为 AD平面 PDC,所以 AD PD.在 Rt PDA 中,由已知,得 AP= ,2+2=5故 cos DAP= .=55所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .55(2)证明 因为 AD平面 PDC,直线 PD平面 PDC,所以 AD PD.又因为 BC
11、AD,所以 PD BC.又 PD PB,所以 PD平面 PBC.(3)解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连接 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC所成的角 .6因为 PD平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影,所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 .由于 AD BC,DF AB,故 BF=AD=1,由已知,得 CF=BC-BF=2.又 AD DC,故 BC DC,在 Rt DCF 中,可得 DF= =2 ,2+2 5在 Rt DPF 中,可得 sin DFP= .=55所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .55
