1、8.3 空间图形的基本关系与公理,-2-,知识梳理,考点自诊,1.空间图形的公理 (1)公理1:经过 的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.,不在同一条直线上,两点,一个,-3-,知识梳理,考点自诊
2、,2.空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系,(2)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 . (3)异面直线a,b所成的角:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的_ (或 )就是异面直线a,b所成的角. 3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况. (2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况.,平行,相交,任何,相等或互补,锐角,直角,相交 平行 在平面内,平行 相交,-4-,知识梳理,考点自诊,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知
3、直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. 3.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A. ( ) (
4、3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线. ( ) (4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a. ( ) (5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018湖北部分重点中学期末,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ) A.直线CC1 B.直线C1D1 C.直线HC1 D.直线GH,C,解析:连接EH,HC1,则EHA1D1, 又A1D1FC1, FC1EH, 四边形
5、FC1HE是梯形, EF与HC1相交.故选C.,-7-,知识梳理,考点自诊,3.、是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( ) A.平面内有两条直线a、b都与平面平行,那么 B.平面内有无数条直线平行于平面,那么 C.若直线a与平面和平面都平行,那么 D.平面内所有的直线都与平面平行,那么,D,解析: A、B都不能保证、无公共点,如图1所示;C中当a, a时,与可能相交,如图2所示;只有D说明、一定无公共点.,-8-,知识梳理,考点自诊,4.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( ),A,-9-,知识
6、梳理,考点自诊,解析:易知选项B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ.故排除选项B,C,D.故选A.,-10-,知识梳理,考点自诊,5.(2018江苏太仓期中,9)如图所示,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号).,解析:由题意得,图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,
7、连接MG,GMHN,所以直线GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H面GMN,所以直线GH与MN异面.,-11-,考点1,考点2,考点3,平面的基本性质及应用(多考向) 考向1 平面的交线问题 例1(2018河南南阳二中高一期中)正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F分别是AA1、CC1的中点,P是CC1上的动点(包括端点),过E、D、P作正方体的截面,若截面为四边形,则P的轨迹是 .,线段CF和一点C1,-12-,考点1,考点2,考点3,解析:如图当点P在线段CF上移动时,易由线面平行的性质定理知直线DE平行于平面BB1CC1,则过DE的截面DEP与平面BB1CC1的交线必与DE平行,因
8、此两平面的交线为过点P与DE平行的直线,由于点P在线段CF上,故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上,故此时截面为四边形(实质上是平行四边形),特别地,当P点恰为点F时,此时截面为DEFB1也为平行四边形,当点P在线段C1F上时,如图,分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G,则据平面基本定理知点H、G既在平面DEP内也在平面A1B1C1D1内,故GH为两平面的交线,连接GH分别交A1B1、B1C1于点K、N,再分别连接EK、KN、PN即得截面为DEKNP,此时为五边形.故选C.,-13-,考点1,考点2,考点3,思考如何作出两个相交平面的交线? 解题心得利用公理3
9、,两个平面相交必交于一条直线,在一个平面内,作两条不平行的直线的交点,或利用两点都在平面内求两个平面的交线.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2018江西南昌八一中学、桑海中学、麻丘高中等八校联考,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别为AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形,D,解析:延长QP,CB交于V,连接RV,交BB1于S, 作RMPQ,交C1D1于M,延长PQ,CD交于T,连接TM,交DD1于N, 如图所示,正方体过P,Q,R的截面图形是六边形,且边长为正方体棱长的 倍的正六边
10、形,故选D.,-15-,考点1,考点2,考点3,考向2 点共线,线共点问题 例2(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形, BAD=FAB=90,BC= AD,BE= FA,G,H分别为FA,FD的中点.四边形BCHG的形状是 ; 点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 .,平行四边形,C,D,E,F,点O在直线C1M上,-16-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)G,H分别为FA,FD的中点,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG. 由知
11、BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面. 又DFH,所以C,D,E,F四点共面.,-17-,考点1,考点2,考点3,(2)如图所示,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1= C1M,所以OC1M.,-18-,考点1,考点2,考点3,思考共面、共线、共点问题的证明有哪些方法? 解题心得共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线
12、(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过( ) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M (2)以下四个命题中: 不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C
13、,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,D,B,-20-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)A,B,MAB,M. 又=l,Ml,M. 根据公理3可知,M在与的交线上. 同理可知,点C也在与的交线上. (2)正确,否则三点共线和第四点必共面;错,如图三棱锥,能符合题意,但A,B,C,D,E不共面;从的几何体知,错;由空间四边形可知,错.,-21-,考点1,考点2,考点3,空间两条直线的位置关系(多考向) 考向1 两直线位置关系的判定 例
14、3a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论: 若ab,ac,则bc; 若ab,ac,则bc; 若ab,bc,则ac. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 思考如何比较直观地判断两直线的位置关系?,B,解析:方法一:在空间中,若ab,ac,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以错误,显然成立. 方法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,错误,正确.,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2 异面直线的判定 例4(2018安徽马鞍山期中,6)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )A.CC1与B1E
15、是异面直线 B.CC1与AE是共面直线 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与BB1是共面直线,C,解析:由于CC1与B1E均在平面BCC1B1内,不是异面直线;CC1平面ABC=C,AE平面ABC,点C不在直线AE上,所以CC1和AE是异面直线;AE平面BCC1B1=E,B1C1平面BCC1B1,点E不在直线B1C1上,则AE与B1C1是异面直线,选C.,-23-,考点1,考点2,考点3,考向3 异面直线所成的角 例5(2018河北衡水三模,6)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2, P为边AB的中点,现将DAP绕直线DP翻转至DAP处,若M为线段AC的中点,则异面直线BM与PA
16、所成角的正切值为( ),A,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,思考空间两条直线位置关系的判定方法有哪些? 解题心得1.点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直. 2.空间两条直线位置关系的判定方法,-26-,考点1,考点2,考点3,3.求解异面直线所成角的方法,-27-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2, l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1l4
17、B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 (2)(2018安徽池州高三期末,7)正方体ABCD-ABCD棱长为6,点P在棱AB上,满足PA=2PB,过点P的直线l与直线AD、CC分别交于E、F两点,则EF=( ),D,D,-28-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1, l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A,B,C,选D.,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,空间中线面的位置关系 例6设直线m与平面相交
18、但不垂直,则下列说法正确的是( ) A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直,B,-31-,考点1,考点2,考点3,解析:如图,m是平面的斜线,PA,l,lAB,则lm,平面内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错; 由题意可知过m有且只有一个平面PAB与平面垂直,假设有两个平面都与平面垂直,则这两个平面的交线m应与平面垂直,与条件矛盾,故B正确; 又l,ll,l, lm,lm,故C错; 又在平面内取不在直线AB上的一点D, 过D可作平面与平面PAB平行, m, 平面PAB,平
19、面,故D错.,-32-,考点1,考点2,考点3,思考如何借助空间图形确定线面位置关系? 解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.,-33-,考点1,考点2,考点3,对点训练4已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP; 对于任意给定
20、的点Q,存在点P,使得CPD1Q; 对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP; 对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R. 其中正确的结论是 .(填序号),-34-,考点1,考点2,考点3,解析:当点P与B重合时,DD1CP,若D1QCP,又DD1D1Q=D1,则CP平面DD1Q,CPDQ,此时,在AB上不存在点Q使CPDQ,所以错误; 当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1. 因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确; 只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时,D1RCP,所以正确; 当
21、点R与A1重合时,D1RB1C1,若D1RCP,则B1C1CP,此时在BB1上不存在点P使B1C1CP,所以错误.,-35-,考点1,考点2,考点3,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,-36-,考点1,考点2,考点3,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,
