1、第九章 解析几何,9.1 直线的倾斜角、斜率与 直线的方程,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,把x轴正向 与直线l向上 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0. 倾斜角的范围为0,180) . (2)直线的斜率 定义:一条直线的倾斜角的正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan ,倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k= .,-5-,知识
2、梳理,双击自测,2.直线方程的五种形式,-6-,知识梳理,双击自测,1.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.直线3x- y+1=0的倾斜角是( ) A.30 B.60 C.120 D.135,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.若直线ax+by+c=0经过第二、三、四象限,则有( ) A.ab0,bc0 B.ab0,bc0 D.ab0,bc0,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .,答案,解析,-10-,知识
3、梳理,双击自测,5.直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.对于直线的五种形式一定要理解其结构特点及适用范围. 2.斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式,也可以通过求倾斜角的正切值来实现. 3.直线的点斜式、斜截式是最常用的形式,点斜式重在突出斜率与定点,斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距,都具有非常鲜明的几何特点.,-12-,考点一,考点二,考点三,直线的倾斜角与斜率(考点难度),【例1】 (1)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( ),答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)若直线l
4、过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是0,),斜率的取值范围是R. 2.正切函数在0,)上不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范围.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是 .,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,(2)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取
5、值范围是( ),答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,求直线的方程(考点难度) 【例2】 (1)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程. (2)求经过点A(- ,3),且倾斜角为直线 x+y+1=0的倾斜角的一半的直线方程.,-18-,考点一,考点二,考点三,解:(1)当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,此时,直线方程为x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件. 2.涉及截
6、距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况. 3.对于点斜式、斜截式方程,使用时要注意分类讨论思想的应用.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为 .,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,直线方程的综合应用(考点难度) 【例3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)求证:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.,(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y
7、)=0,故无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解:当k0时,k0,1+2k0,解得k0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是0,+).,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.直线的方程的综合问题常与共线、中点、截距、面积等问题进行联系,其中直线是核心,尤其要重视直线方程的解析式设法. 2.当直线方程的综合问题求最值时,常常转化成函数或者不等式问题.,-24-,考点一,考点二,考点三,A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( ) A.150 B.135 C.120 D.不存在,答案,解析,-
8、25-,考点一,考点二,考点三,(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,-26-,考点一,考点二,考点三,方法二 由题意知,直线l的斜率k存在且k0, 则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),即ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x+3y-12=0.,-27-,易错警示分类讨论思想在直线方程中的应用 直线的点斜式和两点式方程都是有使用范围的,点斜式未包含倾斜角为90的情况,两点式未包含倾斜角为0和90的情况.因此,使用点斜式和两点式方程的应该对未包含的情况进行讨论.,-28-,【典例】
9、 过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为 . 答案:x-2y+2=0或x=2 解析:若直线m斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形面积为2,符合题意; 若直线m的斜率为0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意; 若直线m的斜率k0, 设其方程为y-2=k(x-2),-29-,即x-2y+2=0. 综上知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2. 答题指导直线方程中,各种直线形式都有各自的适用范围.当用点斜式设直线方程时,注意斜率不存在问题的讨论.,-30-,对点训练直线过点(5,10),且到原点的距离为
10、5,求直线方程.,解:当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时,设其为k, 则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0.,故所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.,-31-,高分策略1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,首先要想到k=tan ,必要时可结合正切函数的图象. 2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应首先考虑下面的设法: (1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为0); (3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在情况; (4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.,
