1、1考点规范练 44 圆的方程基础巩固组1.已知一圆的圆心为点(2, -3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案 A解析 设该直径的两个端点分别为 P(a,0),Q(0,b),则 A(2,-3)是线段 PQ 的中点,所以 P(4,0),Q(0,-6),圆的半径 r=|PA|=(4-2)2+32= 13.故圆的方程为( x-2)2+(y+3)2=13.2.圆( x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方
2、程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1答案 A解析 已知圆的圆心 C(1,2)关于直线 y=x 对称的点为 C(2,1), 圆( x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x对称的圆的方程为( x-2)2+(y-1)2=1,故选 A.3.若圆心在 y 轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是 ( )A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0答案 B解析 根据题意,设圆心坐标为(0, r),半径为 r,
3、则 32+(r-1)2=r2,解得 r=5.故所求圆的方程为 x2+y2-10y=0.4.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2答案 B解析 设圆的坐标为( a,-a),则 ,|a-(-a)|2 =|a-(-a)-4|2即 |a|=|a-2|,解得 a=1,则圆的坐标为(1, -1),半径 r= ,22= 2故圆的方程为( x-1)2+(y+1)2=2.5.设 P(x,y)是圆( x
4、-2)2+y2=1 上的任意一点,则( x-5)2+(y+4)2的最大值为( )A.6 B.25 C.26 D.36答案 D2解析 (x-5)2+(y+4)2表示点 P(x,y)到点(5, -4)的距离的平方 .点(5, -4)到圆心(2,0)的距离 d=5.则点 P(x,y)到点(5, -4)的距离的最大值为 6,从而( x-5)2+(y+4)2的最大(5-2)2+(-4)2值为 36.6.圆 x2+y2-2y-3=0 的圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (0,1) 2解析 已知圆 x2+y2-2y-3=0 的方程转化为 x2+(y-1)2=4, 圆心坐标为(0,1),半径 r=2.7.圆 x
5、2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a= . 答案 -43解析 由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d= =1,解之,得 a=-|1a+4-1|1+a2 43.8.经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 . 答案 x2+y2-4x-2y-5=0 或( x-2)2+(y-1)2=10解析 圆过 A(5,2),B(3,-2)两点, 圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 .易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y=- (x-4).12设所求圆的圆心为 C(
6、a,b),则有 解得2a-b-3=0,b= -12(a-4), a=2,b=1.因此圆心坐标 C(2,1),半径 r=|AC|= 10.故所求圆的方程为( x-2)2+(y-1)2=10.能力提升组9.(2018 浙江嘉兴二模)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值是( )A.1+ B.22C.1+ D.2+222 2答案 A解析 将圆的方程化为( x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为 1,则圆心到直线 x-y=2 的距离 d=故圆上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值为 d+1= +1,应选 A.|1-1-2|2 = 2. 210
7、.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则 a 的值为( )A.2 B.-1 C.1 D.2 或 -1答案 B解析 由已知方程表示圆,则 a2=a+2,解得 a=2 或 a=-1.当 a=2 时,方程不满足表示圆的条件,故舍去 .当 a=-1 时,原方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,3化为标准方程为( x+2)2+(y+4)2=25,表示以( -2,-4)为圆心,半径为 5 的圆 .11.圆心在曲线 y= (x0)上,与直线 2x+y+1=0 相切,且面积最小的圆的方程为( )2xA.(x-2)2+(y-1)2=25B.(x-2)2+(y-1)2=5C
8、.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=5答案 D解析 设圆心坐标为 C (a0),则半径 r= ,当且仅当 2a= ,即 a=1 时(a,2a) 2a+2a+15 22a2a+15 = 5 2a取等号 .所以当 a=1 时圆的半径最小,此时 r= ,C(1,2),所以面积最小的圆的方程为( x-1)2+(y-2)2=5.512.(2018 浙江七校联考)若圆 x2+y2+2x-6y+1=0 关于直线 ax-by+3=0(a0,b0)对称,则 的最小1a+3b值是( )A.2 B C.4 D3 .203 .163答案 D解析 由圆 x2+y2+2x-6y+1=0 可知
9、其标准方程为( x+1)2+(y-3)2=9, 圆 x2+y2+2x-6y+1=0 关于直线 ax-by+3=0(a0,b0)对称, 该直线经过圆心( -1,3),即 -a-3b+3=0.a+ 3b=3(a0,b0)(a+3b) 1+ +9 10+2 = ,当且仅当 ,即 a=b.1a+3b=13 (1a+3b)=13 3ab+3ba 13 3ab3ba 163 3ba=3ab时取等号 .故选 D.13.已知点 A,B 在双曲线 =1 上,且线段 AB 经过原点,点 M 为圆 x2+(y-2)2=1 上的动点,则x216-y24的最大值为( )MAMBA.-15 B.-9 C.-7 D.-6答
10、案 C解析 利用向量的线性运算以及数量积运算法则求解 .设圆 x2+(y-2)2=1 的圆心为 C,且 A,B 关于原点 O 对称,则 =( )( )= ( )+ =( )( )-MAMBCA-CM CB-CMCACB-CMCA+CBCM2 CO+OA CO-OA2 +1=4-| |2-4cos+ 1=5-| |2-4cos ,其中 为 的夹角,当 = ,且点 A 在双曲线CMCO OA OA CM,CO的顶点时,( -4cos )max=4,| =16,所以( )max=5-16+4=-7,故选 C.OA|2min MAMB14.已知 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一
11、点,则过点 M 的最短弦所在直线的方程是 . 答案 x+y-1=04解析 由题意知过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,1),k CM= =1,1-02-1 最短弦所在直线的方程为 y-0=-(x-1),即 x+y-1=0.15.已知实数 x,y 满足 x2+y2-6x+8y-11=0,则 的最大值为 ,|3x+4y-28|的最小值x2+y2为 . 答案 11 5解析 化方程 x2+y2-6x+8y-11=0 为( x-3)2+(y+4)2=36.令 x-3=6cos ,y+4=6sin ,则 x=3+6cos ,y=-4+6sin ,x2+y
12、2= (3+6cos )2+(-4+6sin )2= 61+60cos( + )(tan =43).的最大值为 =11; x2+y2 121|3x+4y-28|=|9+18cos- 16+24sin- 28|=|24sin+ 18cos- 35|=|30sin(+ )-35|(tan =34).| 3x+4y-28|的最小值为 |30-35|=5.16.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,设 P 是圆 C 上的动点 .记 d=|PB|2+|PA|2,其中 A(0,1),B(0,-1),则 d的最大值为 . 答案 74解析 设点 P 的坐标为( x0,y0),则 d=|PB|2+|PA|
13、2= +(y0+1)2+ +(y0-1)2=2( )+2x20 x20 x20+y20为圆上任一点到原点距离的平方, ( )max=(5+1)2=36 x20+y20 x20+y20d max=74.17.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r0)关于直线 x+y+2=0 对称 .(1)求圆 C 的方程;(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 的最小值 .PQMQ解 (1)设圆心 C(a,b),由已知得 M(-2,-2),则 解得a-22 +b-22 +2=0,b+2a+2=1, a=0,b=0,则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标
14、代入得 r2=2,故圆 C 的方程为 x2+y2=2.(2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2,=(x-1,y-1)(x+2,y+2)PQMQ=x2+y2+x+y-4=x+y-2.5令 x= cos ,y= sin ,所以 =x+y-2= (sin+ cos )-2=2sin -2,所以2 2 PQMQ 2 ( + 4)的最小值为 -4.PQMQ18.已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3).(1)求 |MQ|的最大值和最小值;(2)若 M 的坐标为( m,n),求 的最大值和最小值 .n-3m+2解 (1)由圆 C:x2+y2-4x-14y+
15、45=0,可得( x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2.又 |QC|= =4 2 ,(2+2)2+(7-3)2 2 2所以点 Q 在圆 C 外 .所以 |MQ|max=4 +2 =6 ,2 2 2|MQ|min=4 -2 =22 2 2.(2)由题意可知 表示直线 MQ 的斜率,n-3m+2设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,则 =k.n-3m+2因为直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 2 ,可得 2- k2 + ,|2k-7+2k+3|1+k2 2 3 3所以 的最大值为 2+ ,最小值为 2-n-3m+2 3 3.
