1、1考点规范练 40 空间向量及其运算基础巩固组1.在下列命题中: 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z,使得 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 A解析 a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故 不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量 a,b都共面,故 错误;三个向量 a,b,c 中的任两个一定共面,但
2、它们三个却不一定共面,故 不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故 不正确 .综上可知四个命题中正确的个数为 0,故选 A.2.(2017 浙江台州统考)已知向量 a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且 ab,则实数 m 的值等于( )A B.-2 C.0 D 或 -2.32 .32答案 B解析 ab, ,解得 m=-2.2m+12 =3m=m-1-m3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M,N 分别为棱 AA1和 BB1的中点,则 sin的值为( )CM,D1NA B.19 .459C D.259 .23答案 B解
3、析 如图,设正方体棱长为 2,则易得 =(2,-2,1), =(2,2,-1),CM D1N cos= =- , sin=CM,D1NCMD1N |CM|D1N| 19 CM,D1N 1-(-19)22=459.4.已知在空间直角坐标系 O-xyz 中, A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),则这四个点( )A.共线 B.共面C.不共面 D.不能确定答案 B解析 易知 =(3,4,5), =(1,2,2), =(9,14,16),设 =x +y ,则(9,14,16) =(3x+y,4x+2y,5x+2y),AB AC AD ADABAC即 解得9=3x
4、+y,14=4x+2y,16=5x+2y, x=2,y=3,即 =2 +3 ,从而 A,B,C,D 四点共面 .ADABAC5.在四面体 O-ABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,若 ,则使点 GOG=13OA+x4OB+x4OC与点 M,N 共线的 x 的值为( )A.1 B.2 C D.23 .43答案 A解析 ),ON=12(OB+OCOM=23OA.假设点 G 与点 M,N 共线,则存在实数 使得 = +(1- ) )+ ,OG ON OM= 2(OB+OC2(1- )3 OA与 比较可得 ,解得 x=1.故选 A.OG=13OA+x4OB+x4OC
5、 2(1- )3 =13, 2=x46.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, O 为 AC 的中点 .化简 = . A1O-12AB-12AD答案 A1A解析 )=A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+ADA1O-AO=A1O+OA=A1A.37.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y,2),|a|=6,且 ab,则 x+y= . 答案 1 或 -3解析 ab, ab=4+4y+2x=0.又 |a|=6= ,4+16+x2x= 4,y=-3,或 x=-4,y=1.故 x+y=1 或 x+y=-3.8.已知点 O 为空间直角坐标系的原点,向量 =(1,2,3), =(2,
6、1,2), =(1,1,2),且点 Q 在直线 OPOA OB OP上运动,当 取得最小值时, 的坐标是 . QAQB OQ答案 (43,43,83)解析 点 Q 在直线 OP 上, 设点 Q( , ,2 ),则 =(1- ,2- ,3-2 ), =(2- ,1- ,2-2 ),QA QB=(1- )(2- )+(2- )(1- )+(3-2 )(2-2 )=6 2-16+ 10=6 即当QAQB ( -43)2-23.= 时, 取得最小值 - 此时43 QAQB 23. OQ=(43,43,83).能力提升组9.已知向量 a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则 |b-a|的最小
7、值为 ( )A B C D. 5 . 6 . 2 . 3答案 C解析 a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),| b-a|= ,(-1-t)2+(t-1)2+t2= 3t2+2当 t=0 时, |b-a|取得最小值 故选 C.2.10.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则 的AEAF值为( )A.a2 B a2 C a2 D a2.12 .14 .34答案C4解析 设 =a, =b, =c,AB AC AD则|a|=|b|=|c| =a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60.(a+b), c,AE=12 AF=12(a
8、+b) c AEAF=12 12= (ac+bc)= (a2cos60+a2cos60)= a2.14 14 1411.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,O 是底面 ABCD 的中心, E,F 分别是 CC1,AD 的中点,则异面直线OE 与 FD1所成角的余弦值为( )A B C D.105 .155 .45 .23答案 B解析 ), , ) OE=12AC1=12(AB+AD+AA1 FD1=12AD+AA1 OEFD1=12(AB+AD+AA1(12AD+AA1)= (2+4)=3.12(12ABAD+ABAA1+12AD2+ADAA1+12AA1AD+AA12)=12而
9、| |= ,| |= ,OE12 22+22+22= 3 FD1 5 cos= 故选 B.OE,FD1315= 155.12.若a,b,c是空间的一个基底,且向量 p=xa+yb+zc,则( x,y,z)叫向量 p 在基底a,b,c下的坐标 .已知a,b,c是空间的一个基底,a+b,a-b,c是空间的另一个基底,一向量 p 在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底a+b,a-b,c下的坐标是( )A.(4,0,3) B.(3,1,3)C.(1,2,3) D.(2,1,3)答案 B解析 设 p 在基底a+b,a-b,c下的坐标为 x,y,z,则p=x(a+b)+y(a-b)+
10、zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, p 在a,b,c下的坐标为(4,2,3), p=4a+2b+3c, 5由 得 x+y=4,x-y=2,z=3, x=3,y=1,z=3,即 p 在a+b,a-b,c下的坐标为(3,1,3) .13.已知 e1,e2是空间单位向量,e 1e2= 若空间向量 b 满足 be1=2,be2= ,且对于任意12. 52x,yR, |b-(xe1+ye2)| |b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0R),则 |b|为( )A.2 B.8 C D.2. 2 2答案 D解析 设 e3为空间单位向量,且满足 e3e 2,e3e 1,| b-(x0e1+y0e2)
11、|=1,故设 b=x0e1+y0e2+e3, be1=2,即( x0e1+y0e2+e3)e1=2,得 x0+ y0=2.又 be2= ,即( x0e1+y0e2+e3)e2= ,得 x0+y0= ,解 此时,12 52 52 12 52 2x0+y0=4,x0+2y0=5得 x0=1,y0=2,b=e1+2e2+e3,|b|= =e21+4e22+e23+4e1e2+2e2e3+4e2e3=21+4+1+412+0+0= 8 2.14.如图,在平行六面体 ABCD-EFGH 中,棱 AB,AD,AE 的长分别为 3,4,5,且 EAD= EAB= DAB=120,设=a, =b, =c,则用
12、 a,b,c 表示 = ;BH 的长为 . AB AD AE AG答案 a+b+c 57解析 因为 =a+b+c,AG=AB+AD+AE=b+c-a,BH=AH-AB=AD+AE-AB所以 | |=BH (b+c-a)2= 57.15.已知 是空间两两垂直的单位向量, =x +y +z ,且 x+2y+4z=1,则 | |的OA,OB,OC OPOAOBOC OP-OA-OB最小值为 . 答案22121解析 根据题意可得6| |=OP-OA-OB(x-1)2+(y-1)2+z2= (2y+4z)2+(y-1)2+z2= 5y2+17z2+16yz-2y+1= ( 17z+817y)2+(211
13、7y- 1721)2+1-1721 421=2 2121.16.如图,四棱锥 O-ABCD 中, AC 垂直平分 BD,| |=2,| |=1,则( )( )的值是 .OB OD OA+OC OB-OD答案 3解析 如图所示,四棱锥 O-ABCD 中,设 AC,BD 交于点 E,由题意 AC BD,DE=BE,所以 =2OB+ODOE,EADB=ECDB.又 | |=2,| |=1,OB OD所以( )( )=( )( )OA+OC OB-OD OE+EA+OE+EC OB-OD=(2 )( )OE+EA+EC OB-OD=2 ( )+( )OEOB-OD EA+ECDB=( )( )OB+O
14、D OB-OD= =22-12=3.OB2-OD217.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以 为边的平行四边形的面积;AB,AC7(2)若 |a|= ,且 a 分别与 垂直,求向量 a 的坐标 .3 AB,AC解 (1)由题意可得 =(-2,-1,3), =(1,-3,2),所以 cos=AB AC AB,ACABAC|AB|AC|= -2+3+61414=714=12.所以 sin= ,AB,AC32所以以 为边的平行四边形的面积为AB,ACS=2 | |sin=14 =712|AB AC AB,AC 32 3.(2)设 a=(x,y,z),由题
15、意得 x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0, 解得 x=1,y=1,z=1或 x= -1,y= -1,z= -1.所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或( -1,-1,-1).18.(2018 浙江嘉兴)已知 BOD=120,OC 是 BOD 的平分线,沿 OC 将 DOC 翻折到 AOC 的位置,使得 AOB=60(如图),设 OA=OB=OC=1,记 =a, =b, =c,BC 的中点为 M,OA OB OC(1)试用 a,b,c 表示 ;AC和 OM(2)求异面直线 AC 与 OM 所成角的余弦值 .解 (1)由题意知 =c-a,AC=OC-OA)= , BM=12BC=12(OC-OBc-b2=b+ OM=OB+BMc-b2 =b+c2.(2)| a|=|b|=|c|=1,ab=ac=bc= ,128| |=|c-a|= =1,| |= =(c-a)AC c2-2ca+a2 OM|b+c2|=12 b2+2bc+c2= 32,ACOM(c2+bc-ab-ac)=b+c2 =12 14.设 的夹角为 ,则 cos=AC,OMACOM|AC|OM|= 36.故异面直线 AC 与 OM 所成角的余弦值为36.
