1、6.2 等差数列及其前n项和,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项 起,每一项与它的前一项的差 等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d (nN*,d为常数). (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的等差中项 . 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d ,可推广为an=am+(n-m)d . (2)等差数列的前n项和公式,-4
2、-,知识梳理,双击自测,3.等差数列及其前n项和的性质 (1)若an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,qN*). 特别地,当m+n=2p,则am+an=2ap . (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是等差 数列. (3)若Sn是等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差 数列. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差 数列.,-5-,知识梳理,双击自测,4.等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+
3、a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0 时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最小 值.,-6-,知识梳理,双击自测,1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100
4、=( ) A.100 B.99 C.98 D.97,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,5.(2018浙江诸暨高三期末)设等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,S3=12,则公差d= ,通项公式an= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d
5、=0时,an为常数. 3.等差数列解题有利用基本量(a1,d)和应用性质两种基本思想方法.,-12-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的基本量的求解(考点难度) 【例1】 (1)(2017课标高考)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,a5=3,则an= ,S7= .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,
6、已知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想. 2.等差数列的计算关键是求出两个基本量:首项a1和公差d.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知等差数列an,Sn是数列an的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列an的首项a1= ,通项an= .,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018全国高考,理4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的判定与证明(考点难度),【例2】 (1)(
7、2016浙江高考理)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则( )A.Sn是等差数列,A,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知数列an满足a1a2an=1-an,nN*.,求数列an的通项
8、公式.,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子是an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”. 3.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训
9、练(1)已知数列an的前n项和是Sn,则下列四个命题中,错误的是( ),C.若数列an是等差数列,则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列 D.若数列an的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列,则an是等差数列,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2017广东梅州一检改编)已知数列an中,a1=3,满足an=2an-1+2n-1(n2).,求数列an的通项公式.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的性质的应用(考点难度) 【例3】 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则S9=( ) A.36 B.72 C.144 D.2
10、88,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均构成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么a52=( ),A.2 B.8 C.7 D.4,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列项的性质:利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2 与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量. 2.等差数列和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=n
11、(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an;若n为偶数,则S偶-S奇= ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)(2018浙江嘉兴模拟)已知数列an为等差数列,且a8=1,则2|a9|+|a10|的最小值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018浙江金华十校联考)已知等差数列an满足:a40,a50,数列的前n项和为Sn,则 的取值范围是 .,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的前n项和及其最值(考点难度) 【例4】 (1)等差数
12、列an的公差d0,且 ,则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( ) A.8或9 B.9或10 C.10或11 D.11或12,答案,解析,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S6S7S5,则使an0的最大n= ,满足SkSk+10的正整数k= .,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项.,-31-,考点一,考点二,
13、考点三,考点四,对点训练(2017浙江高考,理6)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-32-,思想方法方程思想和函数思想在等差数列中的应用 方程思想和函数思想是等差数列中常用的两种思想方法.等差数列两个基本量是首项a1和公差d,项与和都可以化归成这两个基本量的方程;等差数列的通项an是关于n的一次函数,等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以利用函数思想研究等差数列的性质和最值常常事半功倍.,-33-,【典例1】 (2018浙江金丽衢模拟)设
14、数列an的前n项和为Sn,若 为常数,则称数列an为“好数列”.已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,数列bn为“好数列”,则数列bn的通项公式为( ) A.bn=n-1 B.bn=2n-1 C.bn=n+1 D.bn=2n+1 答案:B,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k= .所以数列bn的通项公式为bn=2n-1.故选B.,-34-,【典例2】 设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,3a8=5a13,当Sn最大时,n= . 答案:20,解析:因为数列an是等差数列,a10,3
15、a8=5a13, 所以3(a1+7d)=5(a1+12d),即2a1+39d=0,又因为a10,所以当n=20时,Sn取得最大值,即S20最大.,-35-,答题指导方程思想和函数思想是数列中最常见的两种思想方法.对于基本量运算求解一般可以利用方程思想,而对于数列的最值问题,可以考虑利用数列的函数特性求最值. 高分策略1.等差数列的通项公式、前n项和公式涉及“五个量”,“知三求二”,需运用方程思想求解,特别是求a1和d. 2.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列. 3.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别. 4.求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件.,
