1、1第 2 讲 排列与组合1排列、组合的定义排列的定义 按照一定的顺序排成一列组合的定义从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素 合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数 组合数定义从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同排列的个数从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数公式A n(n1)( n2)mn(n m1)n！（ n m） ！ C mnn（ n 1） （ n 2） （ n m 1）m！性质A n！，0！1n C C ，C C Cmn n mn mn m 1n mn 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相
2、同排列( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(4)若组合式 C C ，则 x m 成立( )xn mn(5)A n(n1)( n2)( n m)( )mn答案：(1) (2) (3) (4) (5)从 3，5，7，11 这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 a， b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是( )A6 B8C12 D16解析：选 C.由于 lg alg blg ，从 3，5，7，11 中取出两个不同的数分别赋值给aba 和 b 共有 A 12 种，所以得到不同的值有 12 个24(2017高考全国卷
3、)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )2A12 种 B18 种C24 种 D36 种解析：选 D.因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组，即 2，1，1，有 6 种，再分配给 3 个人，有 A 6 种，所以不同的安排方式共有 6636(种)3有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_种解析：由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C C 75(种
4、)2615答案：75有 5 名男生和 3 名女生，从中选出 5 人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：由题意知，从剩余 7 人中选出 4 人担任其余 4 个学科的课代表，共有A 840(种)47答案：840排列应用题典例引领3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选其中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起【解】 (1)从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A 2 520 种
5、排法57(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 5 040 种排法7(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 种排法；女生必3须站在一起，是女生的全排列，有 A 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 种4 2排法，由分步乘法计数原理知，共有 NA A A 288(种)3 4 2(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A 种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空4中安排共有 A 种排法，故 NA A 1 440(种)35 4 35在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；3(2)甲、乙两人必须排在两端解：(1)先
6、排甲有 4 种，其余有 A 种，6故共有 4A 2 880 种排法6(2)先排甲、乙，再排其余 5 人，共有 A A 240 种排法2 5求解有限制条件排列问题的主要方法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数直接法分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中间接法 对于
7、分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法提醒 (1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确 通关练习13 本不同的数学书与 3 本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )A36 B72C108 D144解析：选 B.3 本数学书的放法有 A 种，将 3 本语文书插入使得语文数学均不相邻的插3法有 2A 种，故同类书不相邻的放法有 2A A 26672(种)，故选 B.3 332(2018兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排
8、10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )AA 种 BA 种18 20CA A A 种 DA A 种2331810 218解析：选 D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导4人相邻，有 A 种站法；其他 18 国领导人可以任意站，因此有 A 种站法根据分步计数2 18原理，共有 A A 种站法故选 D.218组合应用题典例引领要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有 1 名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；
9、(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选【解】 (1)法一：至少有 1 名女生入选包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女由分类加法计数原理知总选法数为C C C C C C C C C 771(种)1547 2537 3527 4517 5法二：“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解从 12 人中任选 5 人有 C 种选法，其中全是男代表的选法有 C 种所以“至少有 1 名女生入选”512 57的选法有 C C 771(种)512 57(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的 10 人中任选 3 名即可，共
10、有 C 120 种选法310(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C 种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数510为 C C 540(种)512 510在本例条件下，求至多有 2 名女生入选的选法种数解：至多有 2 名女生入选包括以下几种情况：0 女 5 男，1 女 4 男，2 女 3 男，由分类加法计数原理知总选法数为C C C C C 546(种)57 1547 2537两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”
11、，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解 5甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C C C 24(种)241212(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C C ，又甲
12、、乙两人所选的2424两门课程都相同的选法种数为 C 种，因此满足条件的不同选法种数为 C C C 30(种)24 2424 24排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题典例引领角度一 相邻、相间问题(2018福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A34 种 B48 种C96 种 D144 种【解析】 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有
13、C 种选法，乙、12丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有 C A A 96 种，故选 C.1242【答案】 C角度二 分组、分配问题(2018福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A240 种 B180 种C150 种 D540 种【解析】 5 名学生可分成 2，2，1 和 3，1，1 两种形式，当 5 名学生分成 2，2，1 时，共有 C C A 90 种方法，12252336当 5 名学生分成 3，1，1 时，共有 C A 60 种方
14、法，353根据分类加法计数原理知共有 9060150 种保送方法【答案】 C角度三 特殊元素(位置)问题从 1，2，3，4，5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有 2 和 3 时，2 需排在 3 的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个【解析】 分三类：第一类，没有 2，3，由其他三个数字组成三位数，有 A 6 个；3第二类，只有 2 或 3，需从 1，4，5 中选两个数字，可组成 2C A 36 个；第三类，2，3233均有，再从 1，4，5 中选一个，因为 2 需排在 3 的前面，所以可组成 C A 9 个故这样12133的三位数共有 51 个【答案】 51解排
15、列、组合综合应用问题的思路通关练习1高三某班课外演讲小组有 4 名男生，3 名女生，从中选拔出 3 名男生，2 名女生，然后让这 5 人在班内逐个进行演讲，则 2 位女生不连续演讲的方法种数有( )A864 B432 C288 D144解析：选 A.选 3 男 2 女的选法有 C C 12 种方法，5 人在班内逐个进行演讲且两位女3423生不连续演讲，有 A A 72，所以共有 1272864 种3242某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为( )AA C B. A C CA A D2A2624122624 2
16、624 26解析：选 B.法一：将 4 人平均分成两组有 C 种方法，将此两组分配到 6 个班级中的12242 个班有 A (种)26所以不同的安排方法有 C A (种)1224267法二：先从 6 个班级中选 2 个班级有 C 种不同方法，然后安排学生有 C C 种，故有26 242C C C A C (种)262421226243(2017高考天津卷)用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有 C C A 960 个，四个数字都是14354奇数的四位数有 A
17、 120 个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有 9601201 45080(个)答案：1 080对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；
18、(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件易错防范(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏 1不等式 A 6A 的解集为( )x8 x 28A2，8 B2，6C(7，12) D88解析：选 D.由题意得 6 ，所以 x219 x840，解得8！（ 8 x） ！ 8！（ 10 x） ！7 x12.又 x8， x20，所以 7 x8， xN *，即 x8.2某市委从组织机关 10 名科员中选 3 人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同
19、选法的种数为( )A85 B56C49 D28解析：选 C.由于丙不入选，相当于从 9 人中选派 3 人甲、乙两人均入选，有 C C2种选法，甲、乙两人只有 1 人入选，有 C C 种选法所以由分类加法计数原理，共有17 1227C C C C 49 种不同选法217 12273从 1，3，5 中取两个数，从 2，4 中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )A12 B18C24 D36解析：选 C.从 1，3，5 中取两个数有 C 种方法，从 2，4 中取一个数有 C 种方法，23 12而奇数只能从 1，3，5 取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C
20、 C A A 3222124.23121224某县委将 7 位大学生志愿者(4 男 3 女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多 5 人，则不同的分配方案共有( )A36 种 B68 种C104 种 D110 种解析：选 C.分组的方案有 3、4 和 2、5 两类，第一类有(C 1)A 68 种；第二类37 2有(C C )A 36 种，所以共有 N6836104(种)27 23 25. 如图， MON 的边 OM 上有四点 A1， A2， A3， A4， ON 上有三点B1， B2， B3，则以 O， A1， A2， A3， A4， B1， B2， B3中三点为顶
21、点的三角形的个数为( )A30 B42C54 D56解析：选 B.间接法：先从这 8 个点中任取 3 个点，有 C 种取法，再减去三点共线的38情形即可，即 C C C 42.38 35 346六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A192 种 B216 种C240 种 D288 种9解析：选 B.第一类：甲在最左端，有 A 54321120 种方法；第二类：乙5在最左端，有 4A 4432196 种方法所以共有 12096216 种方法47某班组织文艺晚会，准备从 A， B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求 A， B 两个节目至少有一个选
22、中，且 A， B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A1 860 B1 320C1 140 D1 020解析：选 C.当 A， B 节目中只选其中一个时，共有 C C A 960 种演出顺序；当 A， B12364节目都被选中时，由插空法得共有 C A A 180 种演出顺序，所以一共有 1 140 种演出顺26223序8(2018河南天一大联考)如图，图案共分 9 个区域，有 6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中 2 和 9 同色、3 和 6 同色、4 和 7 同色、5 和 8 同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有( )A3
23、60 种 B720 种C780 种 D840 种解析：选 B.由题意知 2，3，4，5 的颜色都不相同，先涂 1：有 6 种方法，再涂2，3，4，5，有 A 种方法，故一共有 6A 720(种)45 459(2018福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：个位数字与十位数字之和为奇数，所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A540 B480C360 D200解析：选 D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字 1 奇 1 偶，有C C A 50 种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有 C 4 种满足题15152 14意的选法，故满足题意
24、的三位数共有 504200(个)10(2018温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A12 B14C16 D18解析：选 B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 5 人的身高可记为 1，2，3，4，5.要求1，4 不相邻分四类：先排 4，5 时，则 1 只有 1 种排法，2，3 在剩余的两个位上，这10样有 A A 4 种排法；先排 3，5 时，则 4 只有 1 种排法，2，1 在剩余的两个位上，这22样有 A A 4 种排法；先排 1，2 时，则 4 只有 1 种排法，3，5 在剩余的两个位上，这22样有 A A 4 种
25、排法；先排 1，3 时，则这样的数只有两个，即 21534，43512，只有两22种排法综上共有 444214 种排法，故选 B.11将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A18 种 B24 种C36 种 D72 种解析：选 C.不同的分配方案可分为以下两种情况：甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有 C A 18(种)；233甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C A 18(种)133由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有 181836(种)12(2018黑龙
26、江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现从中任选 3 人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选 1 人，则不同选法的种数为( )A484 B472C252 D232解析：选 B.若三班有 1 人入选，则另两人从三班以外的 12 人中选取，共有C C 264 种选法若三班没有人入选，则要从三班以外的 12 人中选 3 人，又这 3 人不1421能全来自同一个班，故有 C 3C 208 种选法故总共有 264208472 种不同的选312 34法13若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有_种解析
27、：把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A种排法；第二步：排两个 o，共一种排法，所以总的排法种数为 A 12(种)其中正确的24 24有一种，所以错误的共 A 112111(种)24答案：1114(2018江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2 人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答)解析：从 5 人中任选 3 人有 C 种，将 3 人位置全部进行调整，有 A 种，故有 NC A35 2 3520 种调整方案2答案：201115(2017高考浙江卷)从 6 男 2 女共
28、8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C C 55 种不同的选48 46法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A 12 种不同的选法根据分步乘法24计数原理知共有 5512660 种不同的选法答案：66016用 1，2，3，4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_解析：首先排两个奇数 1，3，有 A 种排法，再在 2，4 中取一个数放在 1，3 之间，2有 C
29、 种方法，然后把这 3 个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A 种排法，12 2即满足条件的四位数的个数为 A C A 8.2122答案：81现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在 4 个车库中(每个车库放 2 辆)，则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )A144 种 B108 种C72 种 D36 种解析：选 C.从 4 种小车中选取 2 种有 C 种选法，从 4 个车库中选取 2 个车库有 C 种24 24选法，然后将这 2 种小车放入这两个车库共有 A 种放法；将剩下的 2 种小车每 1 种分开来2放，因为同一品牌的小车
30、完全相同，只有 1 种放法，所以共有 C C A 72 种不同的放24242法故选 C.2某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为( )A360 B520C600 D720解析：选 C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为 2C A 480，当甲、354乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为 A A 120，则不同的发言顺序的种数为2523480120600，故选 C.3从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有_对解析：如图它们的棱是原正方体的
31、12 条面对角线一个正四面体中两条棱成 60角的有(C 3)对，两个正四面体有(C 3)2 对又26 2612正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C 3)2248(对)26答案：484数字 1，2，3，4，5，6 按如图形式随机排列，设第一行的数为 N1，其中 N2、 N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足 N1N2N3的所有排列的个数是_解析：(元素优先法)由题意知 6 必在第三行，安排 6 有 C 种方法，第三行中剩下的两13个空位安排数字有 A 种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排25在第二行，有 C 种方法，剩下的两个数字有 A 种排法，根据分步乘法计数原理
32、，所有排12 2列的个数是 C A C A 240.1325122答案：2405已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止(1)若恰在第 5 次测试才测试到第 1 件次品，第 10 次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第 5 次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 种不同的测试方法，再从 4 件次品中选462 件排在第 5 次和第 10 次的位置上测试，有 C A A 种测试方法，再排余下 4 件的测24 2 24试位置，有 A 种测试方法所以共有 A A A
33、 103 680 种不同的测试方法4 46 24 4(2)第 5 次测试的产品恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正品出现，所以共有 C C A 576 种不同的测试方法14 16 46集合 A xZ| x10，集合 B 是集合 A 的子集，且 B 中的元素满足：任意一个元素的各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9.(1)集合 B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合 B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合 B 中的元素从小到大排列，求第 1 081 个元素解：将 0，1，9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对，(0，
34、9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)， B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成(1)两位数有 C 22A C 272(个)；25 2 14三位数有 C 23A C 22A 432(个)35 3 24 213(2)存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为 9，与 B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9 矛盾，因此不存在六位数(3)四位数共有 C 24A C 23A 1 728(个)，45 4 34 3因此第 1 081 个元素是四位数，且是第 577 个四位数，我们考虑千位，千位为 1，2，3 的四位数有 3C 23A 576(个)，34 3因此第 1 081 个元素是 4 012.
