1、1宁夏育才中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 中 ，且焦点在 y 轴上，所以 ，解得 .所以双曲线 的焦点坐标为 .故选 C.2.已知命题 ， ，则命题 的否定 为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可.【详解】全称命题“ ， ”的否定为特称命题，故命题的否定为nN n212n1“ ， ”.nN n
2、212n1故答案为：A.【点睛】这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件.3.经过点 的抛物线的标准方程为（ ）(2,4)2A. B. y2=8x x2=yC. 或 D. 无法确定y2=8x x2=y【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程。【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为 或 ，y2=2px(p0) x2=2py(p0)将点 代入可得 或 ，所以所求抛物线的标准方程为 或 .(2,4) p=4 p=12 y2=8x x2=y故选 .C【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可成为待定系数法，较为基础.4.已知空间向量
3、， ，则“ ”是“ ”的（ ）m=(1,3,x) n=(x2,1,2) x=1 mnA. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到 x 的值，进而得到结果.【详解】 ， ， 或-3.故 x=1 是 的充分不必要条件.mn x2+2x3=0 x=1 mn故答案为：B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q
4、 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系5.已知 的周长为 10，且 ， ，则顶点 的轨迹方程为（ ）MAB A(2,0) B(2,0) MA. B. x29+y25=1 y29+x25=13C. D. y29+x2=1 x29+y25=1(y0)【答案】D【解析】【分析】根据椭圆定义可得到轨迹是椭圆，又因为三点不共线故去掉两个点.【详解】由题 6
5、4，故点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆， ， ，故 ，M x 2a=6 c=2 b2=a2c2=5故椭圆 的方程为，又 不共线，所以 的轨迹方程为x29+y25=1 M,A,B M x29+y25=1(y0).故选 .D【点睛】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如 ，可以转化为向量坐标进NANB=0行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.6.若命题 是真命题，则实数的取值范围是（ ）p:“x0R,x20ax0+10”A. B. 2,2 (,22,+)C. D. (2,2) (,
6、2)(2,+)【答案】B【解析】【分析】根据题干得到需满足 ，解出不等式即可.=a240【详解】命题 是真命题，则需满足 ，解得 或p:“x0R,x20ax0+10” =a240 a2.a2故选 .B【点睛】这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在 R 上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于 0 即可.7.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线 的C:x2a2y220=1(a0) 5x+2y=0 F1 F2 C左，右焦点，点 在双曲线 上，且 ，则 （ ）P C |PF1|=9 |PF2|=A. 1 B. 17 C. 1 或 17 D. 18【答案】B4【解
7、析】【分析】根据渐近线的斜率为 得到 a 值，再由双曲线定义得到结果.ba【详解】依题意，有 ，所以 .因为 ，所以点 在双曲线的左支上，故有25a=52 a=4 |PF1|=9 P，解得 .|PF2|PF1|=2a |PF2|=17故选 .B【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程的应用和概念的应用，较为简单.8.在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）ABCDA1B1C1D1 B1C1 AB1D1A. B. C. D. 13 223 33 63【答案】C【解析】【分析】通过题干条件得到面的法向量， ，求法向量和 的夹角即可.BC/B1C1 BC【详解】由题知， 为平面 的一个法向量
8、，又因为 ，所以A1C AB1D1 BC/B1C1.cosBCA1=1+3223=33故答案为：C.【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。9.已知双曲线 的一条渐近线方程是 y= ,它的一个焦点在抛物线x2a2y2b2=1(a0,b0) 3x的准线上，则双曲线的方程为y2=24xA. B. x236y2108=1 x29y227=1C. D. x2108y236=1 x227y29=1【答案】B【解析】试题分析：由渐近线是 y= x 得 ，抛物线 y2=24x 的
9、准线为 ，3ba= 3 x=6 a2+b2=365，方程为a2=9,b2=27x29y227=1考点：双曲线标准方程及性质点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查10.已知命题 ，使得 ； ，使得 以下命题为真命p1:xR x2+x+1=DFOE|DF|OE|= 245210=61025 与 所成角的余弦值为 .DF OE61025故选 .B【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.12.已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，过椭圆 的右焦点作 轴的垂C:x2a2+y2
10、b2=1(ab0) A B C x线交直线 于点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，其中， 为坐标原点，AB D OD AB k(k4) O则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）CA. B. C. D. (14,1) (0,14) (13,1) (0,13)【答案】D【解析】由题意得直线 的方程为 ，当 时， ，所以点 D 的坐标为AB y=ba(x+a) x=c y=b+bca。因此直线 OD 的斜率为 ，由题意得 ，整理得 ，(c,b+bca) ab+bcac ab+bcac =kba k=a+cc 4 ，故 ，所以 。选 D。a3c e=ca1 x1_【答案】2【解析】【分析】根据原命题
11、和逆否命题真假性相同可得到逆否命题的真假；写出命题的否命题和逆命题可7得到其真假性.【详解】易知命题“若 ，则 ”为假命题，故其逆否命题也为假命题；逆命题为x21 x1“若 ，则 ”是真命题；否命题为“若 ，则 ”，也为真命题. x1 x21 x21 x1故答案为：2.【点睛】这个题目考查了命题的逆否命题和逆命题，和否命题的书写以及真假的判断，否命题既否条件又否结论，命题的否定是只否结论.14.已知平面 的一个法向量为 ， ， ，其中 ， ，则 n=(2,1,3) M(3,2,1) N(4,4,1) M N点 到平面 的距离为_N 【答案】147【解析】【分析】根据点面距离公式,再由向量的坐标
12、运算得到结果即可.【详解】 ，平面 的法向量为 ， MN=(1,2,2) n=(2,1,3)故所求距离 .d=|MNn|n| =214=147故答案为： .147【点睛】这个题目考查了点面距离的求法，方法一可以同这个题目一样建系解决；方法二可以通过等体积法得到点面距离；方法三，如果题中条件有面面垂直的条件，可由点做面的垂线，垂足落在交线上.15.若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为x2a2y2b2=1 2a_【答案】 5【解析】【分析】双曲线焦点到渐近线的距离为 ， ，再由 a,b,c 的关系得到离心率.b b=2a【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为 ，b， ， ，
13、， .b=2a b2=4a2 c2a2=4a2 5a2=c2 e= 58故答案为： .5【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ； 只需要根据一个条件得到关于a,c e=ca的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式 (不等式)两边分别除以或 转a,b,c b2=c2a2 a,c a2化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).16.已知曲线 ，直线 ，则抛物线 上一个动点 到直线 的距离与l1:xy+3=0 l2:x=3 x=18y2 P l1它到直线 的距离之和的最小值为_l2【答案】52
14、2+1【解析】【分析】根据抛物线的定义得到，点 到直线 的距离等于 ，所以点 到直线 与到直线 的距P l2 |PF|+1 P l1 l2离之和等于 到直线 的距离与 之和。P l1 |PF|+1【详解】抛物线的标准方程为 ，焦点 ，所以点 到直线 的距离等于 ，y2=8x F(2,0) P l2 |PF|+1所以点 到直线 与到直线 的距离之和等于 到直线 的距离与 之和，其最小值为P l1 l2 P l1 |PF|+1.|1210+3|12+12 +1=522+1故答案为： .522+1【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以
15、应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线 的标准方C C程. （1）渐近线方程为 ，且过点 ；y=53x (3,10)（2）与双曲线 的离心率相同，与 共焦点.x2y2=1x25+y2=1【答案】 （1） ；（2）y275x227=1 x22y22=19【解析】【分析】（1）设出双曲线的方程，代入已知点即可得到方程；（2）根据题意得到双曲线 的
16、离心C率为 ，焦点为 ， ，由 ， ，即可得到参数值.2 (-2,0) (2,0) a2+b2=4a2+b2a = 2【详解】 （1）设双曲线的方程为 ，x29-y225=(0)将点 代入可得 ，故双曲线的方程为 ，(3,10)99-10025=-3= x29-y225=-3故双曲线 的方程为 .Cy275-x227=1（2）由题意可知双曲线 的离心率为 ，焦点为 ， ，所以可设双曲线 的标准方C 2 (-2,0) (2,0) C程为 ，则 ， ，解得 ，x2a2-y2b2=1(a0,b0) a2+b2=4 a2+b2a = 2 a2=b2=2所以双曲线 的标准方程为 .Cx22-y22=1【
17、点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程的求法，一般需要求出 a,b，c 的关系式，再由三者的关系式 得到参数值 .a2+b2= c218.已知关于 的不等式 的解为条件 p，关于 的不等式x (x+2)(4-x)0 x的解为条件 q.x2-3x-m2-m+20)（1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；p q m（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.p q m【答案】 （1） ；（2）(0,2 (3,+)【解析】【分析】(1)先解出命题 p，q 所对应的集合 A 和 B，再由 是 的必要不充分条件，得到集合 是集合p q B的真子集，列式求解即可；（ 2） 是 的必要不充
18、分条件，则集合 是集合 的真子集，A p q A B所以 求解即可.1-m4,m0, 【详解】 （1）设条件 对应的集合为 ，则 ，p A A=x|-2x4设条件 对应的集合为 ，则 .q B B=x|1-m0, 10解得 ，所以实数 的取值范围是 .04,m0, 解得 ，所以实数 的取值范围是 .m3 m (3,+)【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键P 是 q 的充分非必要条件，则 p 所对应的解集是 q 所对应的解集的真子集.19.如图，在底面为矩形的四棱锥 中， .PABCD PBAB（1）证明：平面 平面 ；PBC PCD（2）若异面直线 与
19、 所成角为 ， ， ，求二面角 的大小.PC BD 60 PB=AB PBBC BPDC【答案】(1)证明见解析；(2) .60【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理即可证得平面CD PBC平面 .PBC PCD(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角 的大小是 .B-PD-C 60试题解析：（1）证明：由已知四边形 为矩形，得 ，ABCD ABBC ， ， 平面 .PBAB PBBC=B AB PBC又 ， 平面 .CD/AB CD PBC 平面 ，平面 平面 .CD PCD PBC PCD（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直
20、角坐标系 .B B-xyz11设 ， ，则 ， ， ， ，PB=AB=1 BC=a(a0) B(0,0,0) C(0,0,a) P(1,0,0) D(0,1,a)所以 ， ，则 ，即 ，PC=(-1,0,a) BD=(0,1,a)|PCBD|PC|BD|=cos60 a21+a2=12解得 （ 舍去）.a=1 a=-1设 是平面 的法向量，则 ，即 ，n=(x1,y1,z1) PBD nBP=0nBD=0 x1=0y1+z1=0 可取 .n=(0,1,-1)设 是平面 的法向量，则 即 ，m=(x2,y2,z2) PCD mPD=0mCD=0 -x2+y2+z2=0y2=0 可取 ，所以 ，m
21、=(1,0,1)cos=nm|n|m|=-12由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的大小为 .B-PD-C B-PD-C 6020.已知抛物线 ，焦点到准线的距离为 4.x2=2py(p0)（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两点关于直线 对称，且两点的横坐标之积为 2，求 的值.y=2x+m m【答案】 （1） ；（2）x2=8y194【解析】【分析】(1)根据题干得到 ，进而得到方程；（2）设存在两点分别为 ， ，则根p=4 A(x1,y1) B(x2,y2)据对称性得到直线 的斜率为 ，代入 AB 的中点坐标得到AB -12，再由两根的和与积得到参数值.18(x1+x2)2-2x1
22、x2=2(x1+x2)+2m【详解】 （1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为 ， .p p=4抛物线方程是 . x2=8y12（2）设存在两点分别为 ， ，则直线 的斜率 ，A(x1,y1) B(x2,y2) AB k=y1-y2x1-x2=-12又 两点在抛物线上，A,B，y1-y2=18(x21-x22).x1+x2=-4又 的中点 在直线 上，AB (x1+x22 ,y1+y22 ) y=2x+m即 ，y1+y22 =2x1+x22 +m.y1+y2=2(x1+x2)+2m，18(x21-x22)=2(x1+x2)+2m即 .18(x1+x2)2-2x1x2=2(x1+x2)+2m又
23、 ， ，x1+x2=-4 x1x2=2.m=194【点睛】当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程 （2） “点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题21.如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ，点PABCD PA ABCD PA=AD=2分别为 的中点.E,F,G AB,AD,PC（1）求证： 平面 ；PC EFG（2）求二面角 的余弦值.EPCF【答案】 （1）见解析；（2）12【解析】13【分析】（1）建立空间坐标
24、系得到直线的方向向量和面的法向量，证得两个向量垂直，即可得到线面垂直；（2）求两个面的法向量，求解两个法向量的夹角或其补角，即二面角的大小。【详解】 （1）证明：以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系AB,AD,AP，设 ， ， ， ， ， ， ， ，A-xyz A(0,0,0) B(2,0,0) C(2,2,0) P(0,0,2) D(0,2,0) E(1,0,0) F(0,1,0) G(1,1,1)， ， .GE=(0,-1,-1) GF=(-1,0,-1) PC=(2,2,-2)，GEPC=02+(-1)2+(-1)(-2)=0.GEPC又 ，GEGF=G平面 .PC EFG（
25、2）解： ， ， ， .PE=(1,0,-2) EC=(1,2,0) PF=(0,1,-2) CF=(-2,-1,0)设平面 的一个法向量为 ，PEC n1=(x1,y1,z1)即 取 ， .n1PE=0,n1EC=0, x1-2z1=0,x1+2y1=0, z1=12x1,y1=-12x1, x1=2 n1=(2,-1,1)设平面 的一个法向量为 ，PCF n2=(x2,y2,z2)即 取 ，n2PF=0,n2CF=0, x2-2z2=0,-2x2-y2=0, z2=y22,x2=-y22, y2=2则 .n2=(-1,2,1)设二面角 的平面角为，E-PC-F14.|cos|=|n1n2|
26、n1|n2|= 366=12， .(0,2) cos=12【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.22.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，焦距为 6.C:x2a2+y2b2=1(ab0) 32 F1 F2（1）求椭圆 的方程.C（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为 的直线分别与椭圆交于 点.试问直线 是否过14 M,N MN某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由
27、.【答案】 （1） ；（2）见解析x212+y23=1【解析】【分析】（1）根据题意得到 解得 ，再由 a,b,c 的关系得到结果；（ 2）设出直线 AM，ca=32,c=3, a=23联立直线和椭圆，表示出点 M 的坐标，设直线 的斜率为 ，则 ，即 ，把AN k kk=-14 k=-14k点 坐标中 的替换为 ，得到点 N 的坐标，利用两点坐标表示出直线 MN 即可得到直线过M k -14k定点.【详解】 （1）由题意知 解得 .ca=32,c=3, a=23又 ，a2=b2+c2，b2=3椭圆方程为 .x212+y23=1（2）设左顶点 ，根据已知得直线 的斜率存在且不为零，A(-23,
28、0) AM,AN设 ，代入椭圆方程，得 ，AM:y=k(x+23) (1+4k2)x2+163k2x+48k2-12=015设 ，则 ，即 ， ，M(x1,y1) -23x1=48k2-121+4k2 x1=23-83k21+4k2 y1=k(x1+23)=43k1+4k2即 .M(23-83k21+4k2,43k1+4k2)设直线 的斜率为 ，则 ，即 ，把点 坐标中 的替换为 ，得AN k kk=-14 k=-14k M k -14k.当 的横坐标不相等，即 时， ，直线 的方程为，即 ，该直线恒过定点 .当 时， 、 的横坐标为零，直线 也过定点 .综上可知，直线 过定点 .【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
