1、1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质,学习目标,1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.(重点),导入新课,情境引入,问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?,斜拉桥梁,埃及金字塔,体育观看台架,问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?,七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.,思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？,问题3 在八上的“平行线的证明
2、”这一章中，我们学了哪8条基本事实？,1.两点确定一条直线；,2.两点之间线段最短；,3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；,4.同位角相等，两直线平行；,5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；,6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；,7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；,8.三边分别相等的两个三角形全等.,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？,弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键,证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形；
3、(3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.,讲授新课,已知：如图,A=D,B=E,BC=EF. 求证：ABCDEF.,证明：A+B+C=180， D+E+F=180（三角形内角和等于180）， C=180(A+B)，F=180(D+E). A=D,B=E（已知）， C=F（等量代换）. BC=EF（已知）， ABCDEF（ASA）.,总结归纳,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,根据全等三角形的定义，我们可以得到：,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分
4、线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).,问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,定理:等腰三角形的两个底角相等.,问题引入,等腰三角形的两个底角相等.,A,B,C,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.,思考：如何构造两个全等的三角形？,定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.,如何证明两个角相等呢？,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？,已知： 如图，在ABC中，AB=AC.
5、求证： B= C.,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD.,AB=AC ( 已知 )，,BD=CD ( 已作 )，,AD=AD (公共边)，, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,还有其他的证法吗？,已知： 如图，在ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：,作顶角的平分线AD， 则BAD=CAD.,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,想
6、一想：由BAD CAD，除了可以得到B= C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？,解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ， 即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线 .,D,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,
7、AB=AC, 1=2(已知)， BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC, BD=CD (已知)， 1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC, ADBC(已知)， BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）.,综上可得：如图,在ABC中,例1 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,典例精析,分析：（1）找出图中所有相等的角；,（2）指出图中有几个等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,AB
8、C= BDC=2 A,C= BDC=2 A.,（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来., A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 ,解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解得x=36 ，在ABC中， A=36，ABC=C=72.,例2 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC. (1)若ADAE，求证：BDCE； (2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.,解析：(1)过
9、A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,证明：(1)如图，过A作AGBC于G. ABAC，ADAE， BGCG，DGEG， BGDGCGEG，BDCE； (2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,当堂练习,1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABC AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_,CD（答案不唯一）,2.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_； (2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _； (3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,75, 30,72,72或36,108,30,30,结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论., 顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）2,0顶角180 0底角90,课堂小结,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一个三角形中,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,
