1、12.1.1 平 面【选题明细表】 知识点、方法 题号三种语言的转换 1,2,6公理的基本应用 3,4,5,9共点、共线、共面问题 7,8,10,11,12,13基础巩固1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是( B )(A)a,Aa A(B)a,Aa A(C)a,AaA(D)a,AaA解析:直线在平面内用“”,点在直线上和点在平面内用“”,故选 B.2.若点 A 在直线 b 上,b 在平面 内,则 A,b, 之间的关系可以记作( B )(A)Ab,b (B)Ab,b(C)Ab,b (D)Ab,b解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选
2、B.3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形 (B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理 2 可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选 D.4.(2018河北衡水校级月考)空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1(C)1 或 4 (D)无法确定解析:四点可以确定平面的个数为 1 个;四点不共面,可以确定平面的个数是 4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是 1 或 4 个.5.如图平面 平面 =直线 l,点 A,B,点 C,Cl,直线 ABl=D,过 A,B,C 三点确定平面 ,则
3、 与 的交线必过( D )(A)点 A (B)点 B(C)点 C 但不过点 D (D)点 C 和点 D解析:因为 C,D,且 C,D,所以 与 的交线必过点 C 和 D.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.2(1)A,a ; (2)=a,P 且 P ; (3)a,a=A ; (4)=a,=c,=b,abc=O . 解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B7.给出以下命题:和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;三条两两相交的直线在同一平
4、面内;有三个不同公共点的两个平面重合;两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 . 解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故错.答案:08.求证:两两相交且不共点的四条直线 a,b,c,d 共面.证明:(1)无三线共点情况,如图(1).设 ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为 ad=M,所以 a,d 可确定一个平面 .因为 Nd,Qa,所以 N,Q,所以 NQ,即
5、 b.同理 c,所以 a,b,c,d 共面.(2)有三线共点的情况,如图(2).设 b,c,d 三线相交于点 K,与 a 分别交于 N,P,M 且 Ka,因为 Ka,所以 K 和 a 确定一个平面 ,设为 .因为 Na,a,所以 N.所以 NK,即 b.同理 c,d.所以 a,b,c,d 共面.由(1),(2)知 a,b,c,d 共面.能力提升9.长方体的 12 条棱所能确定的平面个数为( C )3(A)8 (B)10 (C)12 (D)14解析:在长方体中由 12 条棱可构成长方体的 6 个面和 6 个对角面,共 12 个面.10.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这
6、四个点不共面的一个图是( D )解析:在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PSQR,所以 P,Q,R,S 共面;在 C 图中分别连接 PQ,RS,易证 PQRS,所以 P,Q,R,S 共面;在 B 图中过 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;D 图中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,故选 D.11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 E,F,G 分别为棱 BC,C1C,B1C1的中点,O 1,O2分别为四边形 ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是 . A,C,O 1,D1;D,E,G,F;A,E,F,D 1;G,E,O
7、 1,O2.解析:O 1是 AD1的中点,所以 O1在平面 ACD1内,即 A,C,O,D 四点共面;因为 E,G,F 在平面 BCC1B1内,D 不在平面 BCC1B1内,所以 D,E,G,F 不共面;由已知可得 EFAD 1,所以 A,E,F,D1共面;连接 GO2,交 A1D1于 H,则 H 为 A1D1的中点,连接 HO1,则 HO1GE,所以 G,E,O1,O2四点共面.答案:12.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3,M,N 分别是棱 AA1,AB 上的点,且 AM=AN=1.(1)证明:M,N,C,D 1四点共面;(2)平面 MNCD1将此正方体分为两部分,求
8、这两部分的体积之比.(1)证明:连接 A1B,4在四边形 A1BCD1中,A 1D1BC 且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1是平行四边形,所以 A1BD 1C,在ABA 1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以 = ,1所以 MNA 1B,所以 MND 1C,所以 M,N,C,D1四点共面.(2)解:记平面 MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为 V1,上面部分体积为 V2,连接D1A,D1N,DN,则几何体 D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN 均为三棱锥,所以 V1= + +111= SAMN D1A1+ SADN D1D+ SCDN D1D13 13 13= 3+
9、 3+ 313 12 13 32 13 92= .从而 V2= - =27- = ,11111所以 = ,121341所以平面 MNCD1分此正方体的两部分体积的比为 .1341探究创新13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 2,M,N,P 分别是 A1B1, AD,BB1的中点.5(1)画出过 M,N,P 三点的平面与平面 ABCD,平面 BB1C1C 的交线;(2)设过 M,N,P 三点的平面与 BC 交于点 Q,求 PQ 的长.解:(1)如图,连接 MP 并延长交 AB 的延长线于 R,连接 NR 交 BC 于点 Q,则 NQ 就是过 M,N,P 三点的平面与平面 ABCD 的交线,连接 PQ,则过 M,N,P 三点的平面与平面 BB1C1C 的交线是 PQ.(2)易知 RtMPB 1RtRPB,所以 MB1=RB=1.因为 BQAN,所以BQRANR,所以 = = ,可得 BQ= .11+2在 RtPBQ 中,PQ= = = .2+2 (13)2+12 103
