1、1压轴小题抢分练(一)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 F1,F2分别是双曲线 E: - =1(a0,b0)的左、右焦点,若 E 上存在一点 P 使得|22+ |=b,则 E 的离心率的取值范围是 ( )A. B.52,+)C. D.(1, 【解析】选 C.根据题意有 b=| + |PF 1|-|PF2|=2a,所以有 2ab,即 4 =22=e2-1,整理可得 e25,解得 e .2-222.棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱
2、 AD 中点,过点 B1且与平面 A1BE 平行的正方体的截面面积为 ( )A.5 B.2 C.2 D.6【解析】选 C.取 BC 中点 M,取 A1D1中点 N,则四边形 B1MDN 即为所求的截面,根据正方体的性质,可以求得 MN=2 ,B1D=2 ,根据各边长,可以断定四边形 B1MDN 为菱形,所以其面积 S= 2 2 =2 .123.如图所示的是函数 y=sin(x+) 0,00)个单位长度后,所2得到的图象关于直线 x= 对称,则 m 的最小值为 ( )A. B. C. D.76 6 8【解析】选 C.由函数 y=sin(x+) 的图象可得 T= = -256=,所以 =2.(-6
3、)再由五点法作图可得 2 +=0,所以 = .(-6) 3故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin .(2+3)把 f(x)=sin 的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移(2+3)m(m0)个单位长度后,得到 g(x)=sin 的图象,(4-4+3)因为所得图象关于直线 x= 对称,所以 4 -4m+ = +k,32解得:m= - k,kZ,38 14所以由 m0,可得当 k=1 时,m 的最小值为 .84.已知双曲线 E: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2的直线与 E 的右支交22223于 A,B 两点,M,N 分别是 AF2,BF1
4、的中点,O 为坐标原点,若MON 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,则 E 的离心率是 ( )A.5 B. C. D.52 102【解析】选 D.如图所示,由题意可得:ONAB,结合MON 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形可得:OMAB,结合 OMAF 1可得:AF 1AB,令 OM=ON=x,则 AF1=2x,AF2=2x-2a,BF2=2x,BF1=2x+2a,在 RtABF 1中:(2x) 2+(4x-2a)2=(2x+2a)2,整理计算可得:x= a .32在 RtAF 1F2中,(2x) 2+(2x-2a)2=(2c)2,即(3a) 2+a2=(2c)2,计算可得:e 2=
5、= ,2252所以 e= .1025.设函数 f(x)=min|x-2|,x2,|x+2|,其中 minx,y,z表示 x,y,z 中的最小者.下列说法错误的是 ( )A.函数 f(x)为偶函数B.当 x1,+)时,有 f(x-2)f(x)C.当 xR 时,f(f(x)f(x)D.当 x-4,4时,|f(x)-2|f(x)4【解析】选 D.结合新定义的运算绘制函数 f(x)的图象如图 1 中实线部分所示,观察函数图象可知函数图象关于 y 轴对称,则函数为偶函数,选项 A 的说法正确;对于选项 B,若 x1,3,则 x-2-1,1,此时 f(x-2)=(x-2)2,若 x(3,+),则 x-2(
6、1,+),此时 f(x-2)=|(x-2)-2|=|x-4|,如图 2 所示,观察可得,恒有 f(x-2)f(x),选项 B 的说法正确;对于选项 C,由于函数 f(x)为偶函数,故只需考查 x0 时不等式是否成立即可,若 x0,1,则 f(x)0,1,此时 f(f(x)=f(x2)=x4,若 x(1,3),则 f(x)0,1,此时 f(f(x)=f(|x-2|)=(x-2)2,若 x3,+),则 f(x)1,此时 f(f(x)=f(|x-2|)=|x-4|,如图 3 所示,观察可得,恒有 f(f(x)f(x),选项 C 的说法正确;对于选项 D,5若 x=-4,则 f(x)=f(-4)=2,
7、|f(x)-2|=|2-2|=0,不满足|f(x)-2|f(x),选项 D 的说法错误.6.如图,F 为抛物线 x2=2y 的焦点,直线 y=kx+3(k0)与抛物线相交于 A,B 两点,若四边形AOFB 的面积为 7,则 k=( )A. B. C. D.12 2930 3142【解析】选 A.联立直线方程与抛物线方程 2=2,=+3,可得:x 2-2kx-6=0,由根与系数的关系有 x1+x2=2k,x1x2=-6,则|x 1-x2|= =2 ,(1+2)2-412直线 AB 恒过定点(0,3),则 SABO = 3|x1-x2|=3 .12求解方程可得:x=k ,则 xB=k- ,抛物线的
8、焦点坐标为 F ,(0,12)则BOF 的面积SBOF = |xB|= ( -k),1212 14则四边形 AOFB 的面积 S=SAOB -SBOF ,6即 3 - ( -k)=7,14 2+6求解关于 k 的方程可得:k 1= ,k2=- ,12 2930结合题中的图形可知 k0,故 k= .127.已知函数 f(x)= 函数 y=f(x)-a 有四个不同的零点,从小到大依(+1)2,0,+4-3,0,次为 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,则 x1x2+x3x4 的取值范围为 ( )A.4,5) B.(4,5 C.4,+) D.(-,4【解析】选 A.函数 f(x)= (+1)2,0,+4
9、-3,0,函数 y=f(x)-a 的零点,就是 y=f(x)的图象与 y=a 交点的横坐标,x3,x4是方程 x+ -3=a(x0)的两根,即为 x2-(a+3)x+4=0 的两个根,由根与系数的关系可得 x3x4=4,x1,x2是 =a(x0)的两根,因为 y= 的图象向左平移一个单位可得到 y= 的图象,27又因为 y= 的图象关于 y 对称,2所以 y= 关于 x=-1 对称,所以 x1+x2=-2,且 x1-x20,-x 1-x2=2,所以 x1x2=(-x1)(-x2) =1,(-1-2)24因为 x1x 2,所以 x1x2b0)的右焦点为 F2,O 为坐标原点 ,M 为 y 轴上一
10、点,点 A 是直2222线 MF2与椭圆 C 的一个交点,且|OA|=|OF 2|=3|OM|,则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.104 106【解析】选 A.因为|OA|=|OF 2|=3|OM|,所以F 1AF2=90,设|AF 1|=m,|AF2|=n,如图所示,由题意可得 RtAF 1F2RtOMF 2,9所以 = = ,12213则 m+n=2a,m2+n2=4c2,n=3m,所以 5a2=8c2,解得 e= = . 10411.已知函数 f(x)= 若 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,则|x 1-x2|=( )A. B.1+ C.2 D. +ln232【解析】
11、选 C.当 x0 时,令 f(x)的零点为 x1,则 x1+2= ,所以 =-(-x1)+2,(14)1 4-1所以-x 1是方程 4x=2-x 的解,当 x0 时,设 f(x)的零点为 x2,则 log4x2=2-x2,所以 x2是方程 log4x=2-x 的解.作出 y=log4x,y=4x和 y=2-x 的函数图象,如图所示:因为 y=log4x 和 y=4x关于直线 y=x 对称,y=2-x 与直线 y=x 垂直,所以 A,B 关于点 C 对称,10解方程组 得 C(1,1).所以 x2-x1=2.=,=2-,所以|x 1-x2|=2.12.设函数 f(x)= 若关于 x 的方程 f(
12、x)=a 有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且 x1x2x3x4,则 + 的取值范围是 ( )A.(-3,+) B.(-,3)C.-3,3) D.(-3,3 【解析】选 D.作出函数 f(x)和 t(x)=a 的图象(如图所示),若关于 x 的方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,x3,x4且 x1x2x3x4,则 x1+x2=-4,-log2x3=log2x4=a 且 0a2,即 x1+x2=-4,x3= ,且 1x44,14则 + =x4- 在区间(1,4上单调递增,44则-3x 4- 3,44即 + 的取值范围为(-3,3.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共
13、 20 分.请把正确答案填在题中横线上)1113.已知等差数列a n中,a 2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1 成等比数列,把各项如图排列:a1a2 a 3 a 4a5 a 6 a 7 a 8 a 9a10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16a17 a 18 a 19 a 20 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25则从上到下第 10 行,从左到右的第 11 个数值为_. 【解析】设数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可得: 1+1+3=16,(1+1)2=(1+1)(1+3+1),解得 d=3,a1=2,则数列的通项公式an=a1+(n-1)d=
14、3n-1.第 10 行第 11 个数的下标为:(1+3+5+17)+11=92.所求值为 a92=392-1=275.答案:27514.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏,现有标号为 1 到 12 的卡片共 12 张,每人摸 4 张.甲说:我摸到卡片的标号是 10 和 12;乙说:我摸到卡片的标号是 6 和 11;丙说:我们三人各自摸到卡片的标号之和相等.据此可判断丙摸到的标号中必有的两个是_. 【解析】由题得 1 到 12 的 12 个数字的和为 (1+12)=78,每一个人的四个数字之和为=26,设甲:10,12,a 1,a2,乙:6,11,a 3,a4,丙:a 5,a6,a7,a8.由题得 a1
15、+a2=4,a3+a4=9,所以 a1,a2只能取 1,3,a3,a4只能为 2,7 或 4,5,所以剩下的四个数只能是 4,5,8,9 或 2,7,8,9,12所以丙摸到的编号中必有的两个是 8 和 9.答案:8 和 915.已知直角坐标系中 A(-2,0),B(2,0),动点 P 满足|PA|= |PB|,则点 P 的轨迹方程是_. 【解析】设点 P(x,y),由|PA|= |PB|得 (+2)2+2= ,2(-2)2+2整理得到点 P 的轨迹方程为 x2+y2-12x+4=0,即(x-6) 2+y2=32,其轨迹为圆.答案:x 2+y2-12x+4=0 16.记 Sn为正项等比数列a n的前 n 项和,若 S4-2S2=2,则 S6-S4的最小值为_. 【解析】在等比数列a n中,根据等比数列的性质,可得 S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,所以(S 4-S2)2=S2(S6-S4),所以 S6-S4= ,(4-2)22因为 S4-2S2=2,即 S4-S2=S2+2,所以 S6-S4= =22+42+42=S2+ +42 +4=8,42当且仅当 S2= 时,等号是成立的,42所以 S6-S4的最小值为 8.13答案:8
