1、第三讲 分类与整合思想,微题型一 由数学运算要求引起的分类讨论 【典例1】(1)已知函数 且f(a)= -3,则f(6-a)= ( ),(2)函数 若f(1)+f(a)=2,则a 的所有可能值为_.,【思路点拨】,【解析】(1)选A.由于f(a)=-3, 若a1,则2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1.由于2x0, 所以2a-1=-1无解; 若a1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7, 所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=- . 综上所述,f(6-a)=- .,(2)f(1)=e0=1,即f(1)=1. 由f(1)+f(a)=2,得f(a)=1. 当a0时,f(
2、a)=1=ea-1,所以a=1. 当-1a0时,f(a)=sin(a2)=1, 所以a2=2k+ (kZ),所以a2=2k+ (kZ),k只能取0,此时a2= . 因为-1a0,所以a=- ,故a=1或- . 答案:1或-,【方法点睛】由数学运算要求引起的分类讨论主要是在运算过程中,运算变量在不同取值范围内计算形式会不同,所以要进行分类讨论.,【跟踪训练】 1.(2018武汉一模)设函数 若 f(a)1,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+),【解析】选C.方法一:当a-3,此时-3a0;当a0时,不等式 f(a)1为 1,
3、所以0a1.故a的取值范围是(-3,1).,方法二:取a=0, f(0)=01,符合题意,排除A,B,D.,微题型二 由概念、性质、公式引起的分类讨论 【典例2】(1)若函数f(x)=ax(a0,a1)在区间-1,2 上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) 在 0,+)上是增函数,则a=_. (2)已知数列an的首项a1=7,且满足 = 3n+1(nN*),则数列an的通项公式为_.,【思路点拨】,【解析】(1)若a1,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m= ,此时 g(x)=- 为减函数,不合题意. 若0a1,有a-1=4,a2=m, 故a= ,m= ,经检验知符合题意.
4、 答案:,(2)当n2时, =3n, 又 =3n+1, 两式相减,得 ,所以an=6n. 由于a1=7不符合an=6n, 所以数列an的通项公式为 答案:,【方法点睛】“四步”解决由概念、性质、公式引起的分类讨论问题 第1步:确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标.一般把需要用到概念、性质、公式解决问题的对象作为分类目标.,第2步:根据概念、性质、公式确定分类标准.运用概念、性质、公式对分类对象进行区分. 第3步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理. 第4步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理.,【跟踪训练】 2.在等比数列an中,已知 则a
5、1=_. 世纪金榜导学号,【解析】当q=1时,a1=a2=a3= , S3=3a1= ,显然成立; 当q1时,由题意,故,得 即2q2-q-1=0, 所以q=- 或q=1(舍去). 当q=- 时, 综上可知,a1= 或a1=6. 答案: 或6,微题型三 因参数变化而引起的分类讨论 【典例3】(1)(2017全国卷)已知函数f(x)=x-1-aln x. 若f(x)0,求a的值. (2)(2017全国卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,讨论f(x)的单调性.,【思路点拨】,【解析】 当a0时,f(x)0, 上单调递增, 则 时, 所以a0不符合题意.,当a0时,f(x)在 上单调
6、递减,在 上单调递增, f(x)min= =a-1-aln a, 令y=a-1-aln a, 则y=-ln a,所以y在 上单调递增,在 上单调 递减,所以ymax=0,即y0. 因此,a=1时f(x)min=0,故f(x)0时,a的值为1.,当a0时,aex-10,从而 恒成立,在R上单调递减.,当a0时,令 =0,从而aex-1=0,得x=-ln a.,综上,当a0时,f(x)在R上单调递减; 当a0时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a, +)上单调递增.,【方法点睛】几种常见的由参数变化引起的分类讨论 (1)含有参数的不等式的求解. (2)含有参数的方程的求解. (
7、3)对于解析式系数是参数的函数,求最值与单调性问题. (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.,【跟踪训练】 3.(2018荆州一模)已知函数f(x)=mx2-x+ln x.若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为_.,【解析】 即2mx2-x+10时,由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴x= 0, 故需且只需0,即1-8m0,故m .,综上所述,实数m的取值范围为 答案:,微题型四 根据图形位置和形状分类讨论 【典例4】(1)(2017全国卷)设点A,B是椭圆C: 长轴的两个端点,若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是 (
8、) A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+),(2)设点F1,F2为椭圆 的两个焦点,点P为椭圆上一点.已知点P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|PF2|,则 的值为_.,【思路点拨】,【解析】(1)选A.当03时,焦点在y轴上,要使C上存 在点M满足AMB=120,则 tan 60= , 即 得m9, 故m的取值范围为(0,19,+).,(2)若PF2F1=90. 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 , 解得 所以,若F1PF2=90,则|F1F2|2=|PF1|2
9、+|PF2|2, 所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, 所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以 =2. 综上可知, = 或2. 答案: 或2,【方法点睛】几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化. (2)函数问题中区间的变化. (3)函数图象形状的变化.,(4)直线由斜率引起的位置变化. (5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.,【跟踪训练】 4.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且 b=3,c=1,ABC的面积为 ,则a的值为_. 世纪金榜导学号,【解析】由三角形面积公式,得 31sin A= , 故sin A= .因为sin2 A+cos2 A=1, 所以,当cos A= 时,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213 =8, 所以a=2 .,当cos A=- 时,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213 =12, 所以a=2 . 综上所述,a=2 或2 . 答案:2 或2,
