1、1第一章 1.1 第 1 课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1在 ABC 中， a3， b5，sin A ，则 sinB( B )13A B15 59C D153解析 由 ，知 ，即 sinB ，选 BasinA bsinB 313 5sinB 592已知 ABC 的面积为 ，且 b2， c ，则 sinA( A )32 3A B32 12C D34 3解析 由已知，得 2 sinA，32 12 3sin A 323(20182019 学年度湖南武冈二中高二月考) ABC 中， A60， a2， b4，那么满足条件的 ABC( C )A有一个解 B有两个解C无解 D不确定解析 a2， b
2、4， A60， a bsinA， ABC 无解4(2017山东理，9)在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cos C)2sin AcosCcos AsinC，则下列等式成立的是( A )A a2 b B b2 aC A2 B D B2 A解析 等式右边sin AcosC(sin AcosCcos AsinC)sin AcosCsin( A C)2sin AcosCsin B，等式左边sin B2sin BcosC，sin B2sin BcosCsin AcosCsin B由 cosC0，得 sinA2sin B根据正
3、弦定理，得 a2 b故选 A5(20182019 学年度甘肃天水一中高二月考)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 c2 acosB，则三角形一定是( C )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析 c2 acosB，sin C2sin AcosB，sin( A B)2sin AcosB，sin AcosBcos AsinB2sin AcosB，sin AcosBcos AsinB0sin( A B)0， A B，故选 C6已知 ABC 中， a x， b2， B45，若三角形有两解，则 x 的取值范围是( C )A x2 B x2C2 x
4、2 D2 x22 3解析 由题设条件可知Error!，2 x2 2二、填空题7已知 ABC 外接圆半径是 2 cm， A60，则 BC 边长为_2 cm_3解析 2 R，BCsinA BC2 RsinA4sin602 (cm)38在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若a ， b2，sin Bcos B ，则角 A 的大小为_ _2 2 6解析 sin Bcos B sin ，2 (B 4) 23sin( B )1，0 B， 4 B ， B ， B ， 4 454 4 2 4又 ，sin A ，bsinB asinA 12 ab， AB，故 A 6三、解答题9在
5、ABC 中，已知 c ， A45， a2，求 ABC 中其他边与角的大小6解析 由正弦定理，得 ，asinA csinCsin C ，csinAa 6sin452 32因为 0C180， C60或 C120当 C60时， B75，b 1，csinBsinC 6sin75sin60 3当 C120时， B15，b 1csinBsinC 6sin15sin120 3 b 1， B75， C60或 b 1， B15， C1203 310在 ABC 中，若 sinA2sin BcosC，且 sin2Asin 2Bsin 2C，试判断三角形的形状解析 A、 B、 C 是三角形的内角， A( B C)，s
6、in Asin( B C)sin BcosCcos BsinC2sin BcosCsin BcosCcos BsinC0，sin( B C)0，又0 B，0 C， B C， B C又sin 2Asin 2Bsin 2C， a2 b2 c2， A 是直角， ABC 是等腰直角三角形B 级 素养提升一、选择题1在 ABC 中， a1， A30， C45，则 ABC 的面积为( D )4A B22 24C D32 3 14解析 由正弦定理，得 c ， B1803045105，asinCsinA 2sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45 ，6 24 S ABC acsi
7、nB 12 3 142在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.若 acosA bsinB，则sinAcosAcos 2B( D )A B12 12C 1 D 1解析 acosA bsinB，sin AcosAsin 2B1cos 2B，sin AcosAcos 2B13(2017全国卷文，11) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.已知sinBsin A(sinCcos C)0， a2， c ，则 C( B )2A B12 6C D 4 3解析 因为 a2， c ，2所以由正弦定理可知， ，2sinA 2sinC故 sinA sinC，2又
8、 B( A C)，故 sinBsin A(sinCcos C)sin( A C)sin AsinCsin AcosCsin AcosCcos AsinCsin AsinCsin AcosC(sin Acos A)sinC0又 C 为 ABC 的内角，故 sinC0，则 sinAcos A0，即 tanA15又 A(0，)，所以 A 34从而 sinC sinA 12 22 22 12由 A 知 C 为锐角，故 C 34 6故选 B4设 a、 b、 c 分别是 ABC 中 A、 B、 C 所对的边，则直线 xsinA ay c0 与bx ysinBsin C0 的位置关系是( C )A平行 B重
9、合C垂直 D相交但不垂直解析 k1 ， k2 ，sinAa bsinB k1k21，两直线垂直二、填空题5已知 ABC 中， A90， B60， C30，则 a b c_2 1_3解析 由正弦定理，得 a2 RsinA，b2 RsinB， c2 RsinC， a b csin Asin Bsin Csin90sin60sin302 136在 ABC 中， B45， C60， c1，则最短边的边长等于_ _63解析 B45， C60， A75 BCA， bca，边 b 为最短边由正弦定理，得 ，bsinB csinC b csinBsinC12232 63三、解答题7(20182019 学年度湖
10、南武冈二中高二月考)在 ABC 中，AC6，cos B ， C 45 46(1)求 AB 的长；(2)求 cos(A )的值 6解析 (1)cos B ，sin B 45 35由正弦定理，得 ，ABsinC ACsinB AB 5 ACsinCsinB62235 2(2)sinAsin( B C)sin BcosCcos BsinC ，35 22 45 22 7210cos A 210cos( A )cos Acos sin Asin 6 6 6 210 32 7210 32 265C 级 能力拔高1(2015山东文，17) ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.已知
11、 cosB， sin(A B) ， ac2 ，求 sinA 和 c 的值33 69 3解析 在 ABC 中，由 cosB ，得 sinB 33 63因为 A B C，所以 sinCsin( A B) 69因为 sinCsin B，所以 C B，所以 C 为锐角，所以 cosC ，539因此 sinAsin( B C)sin BcosCcos BsinC 63 539 33 69 223由 ，可得 a 2 c，asinA csinC c sinAsinC223c69 3又 ac2 ，所以 c132(2016浙江理，16)在 ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.已知b
12、 c2 acosB7(1)证明： A2 B；(2)若 ABC 的面积 S ，求角 A 的大小a24解析 (1)由正弦定理，得 sinBsin C2sin AcosB，故 2sinAcosBsin Bsin( A B)sin Bsin AcosBcos AsinB，于是sinBsin( A B)又 A、 B(0，)，故 0A B，所以，B( A B)或 B A B，因此 A(舍去)或 A2 B，所以 A2 B(2)由 S 得 absinC ，故有a24 12 a24sinBsinC sin2Bsin BcosB，12因为 sinB0，所以 sinCcos B又 B、 C(0，)，所以 C B 2当 B C 时， A ；当 C B 时， A 2 2 2 4综上， A 或 A 2 4
