1、- 1 -四川省宜宾第三中学 2019 届高三 11 月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.复数 （ 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故复数 （ 为虚数单位）的共轭复数为故选 B.2.已知角 的终边上有一点 P (1,3)，则 的值为 ( )A. 1 B. C. 1 D. 4【答案】A【解析】试题分析：根据三角函数的定义可知 ，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知：，故选 A.考点：1、三角函数的定义；2、诱导公式和同角三角函数关系.【方法点晴】本题是一个三角函数的定义、三角函数诱导公式及同角三角函数关系
2、式方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及其切入点是，首先根据三角函数的诱导公式将被求式进行整理与化简，再由点 的坐标，根据三角函数的定义求出角 的有关三角函数值，进而可得到所求结果.3.已知 展开式中，各项系数的和与其各二项式系数的和之比 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ，可得各项系数的和为 ，二项式系数的和为 ，因为各项系数的和与其各二项式系- 2 -数的和之比是 ，所以 ，故选 4.已知实数 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值是（ ）A. B. C. 4 D. 8【答案】D【解析】是 的等比中项。故选 D。点睛：异面直线所成角的求解技巧:求异面
3、直线所成的角采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行。5.从数字 中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于 的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【解析】总样本数为 ,其中两位数大于 的有 个，所以所求概率为 选 B.6.已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ， ，选 D.7.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 3 -本题选择 A 选项.点睛：关于 sin
4、 ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子8.等差数列 和 的前 项和分别为 与 ，对一切自然数 ，都有 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,选 B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.9.已知 P
5、是ABC 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设三角形的一条中线为 ， ， ，即 为线段- 4 -的中点 ，则 ，由几何概型的概率公式，得该粒黄豆落在PAC 内的概率是 ；故选 A考点：1平面向量的线性运算；2几何概型10. 的展开式的常数项是（ ）A. 3 B. -2 C. 2 D. -3【答案】A【解析】【分析】的展开式的常数项是第一个因式取 ,第二个因式取 ，第一个因式取 2 ,第二个因式取 ,故可得结论.【详解】第一个因式取 ,第二个因式取 ，可得 ；第一个因式取 2 ,第二个因式取
6、,可得 ，的展开式的常数项是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题- 5 -也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11.函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象上所有点（ ）个单位长度.A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移【答案】A【解析】由图可知， ，所以 ，有 ，得 ，所以 ，要想得到 ，只需将 的图象上所有
7、点向右平移 即可，故选 A.点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .12.已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有 （ 是自然对数的底数） ，且 ，若关于 的不等式 的解集中恰有唯一一个整数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 6 -构造函数 故 进而得到 对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果.【详解】对任意的实数 都有 ,变形得到 =构造函数 故 根据 ，得到进而得到 ，对函数求导得到 根据导函数的正负得到函数在 ， ， 由此可得到函数的图像，不等式 的解集中恰有唯
8、一一个整数，则此整数只能为-1，故 解得 m 的范围是： .故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值的问题中的应用，体现了数形结合的思想以及极限的画图的思想；较为综合. 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）- 7 -13.现要将五名大学生分配到四所学校实习
9、，每名大学生只能去一所学校，每所学校至少一名大学生，则不同分配方法有_种【答案】240【解析】【分析】5 个人分成满足题意的 4 组，只有一个学校有 2 人，.其余都学校是 1 人,，先选 2 人做为一组，然后全排即可.【详解】5 个人分成满足题意的 4 组只有 1 ,1,1,2,即只有一个学校有 2 人，其余都是 1 人，选 2 人做为一组剩余 3 人每人一组，然后将四组分到四个学校，共有 种.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含
10、条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14.已知各项均为正数的等比数列 ，其前 n 项和 ，若 ， ，则_【答案】126【解析】设各项均为正数的等比数列 an的公比等于 q， Sn=2， S3n=14， ，解得： qn=2， 则 S6n = （1- q6n）=-2（1-64）=126故答案为：126.- 8 -15.函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于_.【答案】4【解析】画出函数 的图像与函数 的图像，易得交点关于（01）对称，所以所有交点的横坐标之和等于 .16.
11、等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，则 =_【答案】 【解析】试题分析：因为 ， ，所以， ，解之得 ，所以 ，所以 ，所以 ，故应填 - 9 -考点：1、等差数列的前 项和；2、等差数列的性质；3、三角函数求值【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前 项和和三角函数求值，考查学生综合知识运用能力，属中高档题其解题的一般思路为：首先由已知等式 ，可解出 ， 的值，进而得出 的值，然后运用等差数列的性质可知 可求出所求的结果三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.已知 是正项数列 的前 项和， .（1）证明：数列 是等差数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案
12、】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)利用 与 的关系可得： ，从而说明数列 是等差数列；(2)利用错位相减法求和.试题解析：（1）当 时，有 ，又 ，当 时，有 ，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列- 10 -（2）由（1）及 ，得 ， ，则 ，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18.一个盒子里装有大
13、小均匀的 个小球，其中有红色球 个，编号分别为 ；白色球 个, 编号分别为 , 从盒子中任取 个小球（假设取到任何个小球的可能性相同） （1）求取出的 个小球中，含有编号为 的小球的概率；（2）在取出的 个小球中, 小球编号的最大值设为 ，求随机变量 的分布列【答案】 （1） ；（2）分布列见解析【解析】试题分析：（1）从盒子中任取 个小球，先求出基本事件总数，再求出取出的 个小球中，含有编号为 的小球的基本事件个数，由此能求出取出的 个小球中，含有编号为 的小球的概率；（2）由题意得 的可能取值为 ，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列试题解析：（1） “设取出的 个小球中，含有编
14、号为的 小球” 为事件 , 取出的 个小球中，含有编号为的 小球的概率为 （2） 的可能取值为 ,- 11 -,所以随机变量 的分布列为:考点：古典概型；离散型随机变量的分布列19.已知在锐角ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，且 （1）求角 A 的值；（2）若 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)在锐角 中，根据条件利用正弦定理可得 ，化简可得，由此可得 的值；(2)由正弦定理可得 ，可得，再由 ，求得 的范围，可得 ，再利用正弦函数的单调性求得 的取值范围.【详解】(1)在锐角 中，根据 ，利用正弦定理可得 ，即 ，即 ，- 12 -即 .(
15、2)若 ，则由正弦定理可得 ， ，由于 ，求得 ，.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用以及正弦函数的单调性，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知函数 （ ）求函数 在 上的单调递增区间（ ）若 且 ，求 的值【答案】 （1） 和 ；（2）【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论；（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的
16、正弦公式，求得 的值.试题解析：函数 ，（ ）令 ， ，得 ， ，所以函数 在 上的单调递增区间为 和 （ ）因为 ，所以 - 13 -因为 ，所以 ，所以 ，点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数 的性质求解21.已知函数 。（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；（2）若函数 ，讨论函数 的单调性；（3）若（2）中函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1
17、） ；（2）当 时，g（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;当 时，g（x）的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 ;当 时，g（x）的单调递增区间为 ，无单调递减区间；【解析】试题分析：（1）求切线方程，求出导数 ，计算 为切线斜率，由点斜式写出切线方程；（2）求出导数 ，函数定义域为 ，只要研究分子二次式 的正负可得 的单调区间，首先由判别式确定二次方程的根的情形，在 时注意两根与的关系，分类时要不重不漏；（3）由（2）可知 ， ， ，因此下面只要求得此式的最小值即可得范围- 14 -试题解析：（1）f（x）的定义域为 ，且 ，又 a=2,的而 f（1）=-1,所以 f（x）在（1，
18、-1）处的切线方程为 y=“-1“ ，当 时，g（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;当 时，g（x）的单调递增区间为 , ,单调递减区间为;当 时，g（x）的单调递增区间为 ，无单调递减区间（3）由第（2）问知，函数 g（x）有两个极值点 ，则 ，且 ，又因为 ，所以 ， ，因为于是设 ， （ ） ，则有，因为 ，所以 ，且 2lnx0,得 ,即 h（x）在 单调递减，所以 ，得 m 的范围为考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与极值、最值，不等式恒成立选做题，请从 22，23 题中任选一题作答，若两题都选，则按 22 题给分。22.在直角坐标系 中，直线 ，圆 ,以坐标原点
19、为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求 ， 的极坐标方程；（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积【答案】(1) , ；(2) 【解析】试题分析：（1）将 代入 的直角坐标方程，化简得 ，；（2）将 代入 ，得 得- 15 -， 所以 ，进而求得面积为 .试题解析：（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，的极坐标方程为（2）将 代入得 得 ， 所以因为 的半径为 1，则 的面积为考点：坐标系与参数方程.23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】【分析】(1) 对 分三种情况
20、讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；(2) 在 上恒成立，等价于 恒成立，令，将 写成分段函数形式，判断函数的单调性，依据单调性求得的最小值，从而可得可得 的范围.【详解】 （1）原不等式等价于 ，或 ，或 ，解求得 ，解求得 ，解求得 ，不等式的解集为 或 .（2） 在 上恒成立，- 16 -即 恒成立，令，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，当 时， 的最小值为 1，由题意可得 ，即 ，实数 的取值范围是 .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 17 -
