1、1高考大题专项练四 高考中的立体几何1.(2018 全国 ,文 19)如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点 .2(1)证明: PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离 .(1)证明 因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP AC,且 OP=2 .3连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC 为等腰直角三角形,且 OB AC,OB= AC=2.22 12由 OP2+OB2=PB2知, OP OB.由 OP OB,OP AC 知 PO平面 ABC.
2、(2)解 作 CH OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP CH,所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 .由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= , ACB=45.12 23 423所以 OM= ,CH= .253 OCMCsin ACBOM =455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .4552.2(2018 北京,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD平面ABCD,PA PD,PA=PD,E,F 分别为 AD,PB 的中点 .求证:(1)PE BC;(2)平面 PAB平面 PCD;(3)EF平面 PCD.证
3、明 (1)因为 PA=PD,E 为 AD 的中点,所以 PE AD.因为底面 ABCD 为矩形,所以 BC AD,所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD 为矩形,所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD,所以 AB平面 PAD,所以 AB PD.又因为 PA PD,所以 PD平面 PAB.所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图,取 PC 的中点 G,连接 FG,DG.因为 F,G 分别为 PB,PC 的中点,所以 FG BC,FG= BC.12因为四边形 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点,所以 DE BC,DE= BC.12所以 DE FG,DE=FG.所以四边形 D
4、EFG 为平行四边形 .所以 EF DG.3又因为 EF平面 PCD,DG平面 PCD,所以 EF平面 PCD.3.由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示 .四边形 ABCD 为正方形, O为 AC 与 BD 的交点, E 为 AD 的中点, A1E平面 ABCD.(1)证明: A1O平面 B1CD1;(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.证明 (1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1 OC,A1O1=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形
5、,所以 A1O O1C.又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1CD1,所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EM BD,又 A1E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1E BD,因为 B1D1 BD,所以 EM B1D1,A1E B1D1.又 A1E,EM平面 A1EM,A1E EM=E,所以 B1D1平面 A1EM,又 B1D1平面 B1CD1,所以平面 A1EM平面 B1CD1.4.4如图,在底面是菱形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=2 ,点 E 在 A1D
6、 上 .2(1)证明: AA1平面 ABCD;(2)当 为何值时, A1B平面 EAC,并求出此时三棱锥 D-AEC 的体积 .A1EED(1)证明 因为底面 ABCD 是菱形, ABC=60,所以 AB=AD=AC=2.在 AA1B 中,由 A +AB2=A1B2,知 AA1 AB.A21同理, AA1 AD.又因为 AB AD 于点 A,所以 AA1平面 ABCD.(2)解 当 =1 时, A1B平面 EAC.A1EED证明如下:连接 BD 交 AC 于 O,当 =1,即点 E 为 A1D 的中点时 ,连接 OE,则 OE A1B,所以 A1B平A1EED面 EAC.设 AD 的中点为 F
7、,连接 EF.则 EF AA1,所以 EF平面 ACD,且 EF=1,可求得 S ACD= .3所以 VE-ACD= 1 ,13 3= 33即 VD-AEC=VE-ACD= .335.5如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, D 是 AC 的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证: OD平面 VBC;(2)求证: AC平面 VOD;(3)求棱锥 C-ABV 的体积 .(1)证明 O ,D 分别是 AB 和 AC 的中点, OD BC.又 OD平面 VBC,BC平面 VBC,OD 平面 VBC.(2)证明 VA=VB ,O 为
8、 AB 中点, VO AB.连接 OC,在 VOA 和 VOC 中, OA=OC,VO=VO,VA=VC, VOA VOC, VOA= VOC=90,VO OC.又 AB OC=O,AB平面 ABC,OC平面 ABC,VO 平面 ABC.又 AC平面 ABC,AC VO.又 VA=VC,D 是 AC 的中点, AC VD.VO 平面 VOD,VD平面 VOD,VO VD=V,AC 平面 VOD.(3)解 由(2)知 VO 是棱锥 V-ABC 的高,且 VO= .VA2-AO2= 3又点 C 是弧 AB 的中点,CO AB,且 CO=1,AB=2.6 三角形 ABC 的面积 S ABC= ABC
9、O= 21=1,12 12 棱锥 V-ABC 的体积为VV-ABC= S ABCVO= 1 ,13 13 3= 33故棱锥 C-ABV 的体积为 .336.如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明: G 是 AB 的中点;(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积 .(1)证明 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 AB PD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为
10、E,所以 AB DE.所以 AB平面 PED,故 AB PG.又由已知可得, PA=PB,从而 G 是 AB 的中点 .(2)解 在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 .理由如下:由已知可得 PB PA,PB PC,又 EF PB,所以 EF PA,EF PC.因此 EF平面 PAC,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 .7连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心 .由(1)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG.23由题设可得 P
11、C平面 PAB,DE平面 PAB,所以 DE PC,因此 PE= PG,DE= PC.23 13由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2 .2在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2.所以四面体 PDEF 的体积 V= 222= .1312 437.(2018 全国 ,文 18)如图,在平行四边形 ABCM 中, AB=AC=3, ACM=90.以 AC 为折痕将 ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 AB DA.(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)Q 为线段 AD 上一点, P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ= DA,求三棱锥
12、 Q-ABP 的体积 .23(1)证明 由已知可得, BAC=90,BA AC.又 BA AD,所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC,所以平面 ACD平面 ABC.(2)解 由已知可得, DC=CM=AB=3,DA=3 .28又 BP=DQ= DA,所以 BP=2 .23 2作 QE AC,垂足为 E,则 QE DC.13由已知及(1)可得 DC平面 ABC,所以 QE平面 ABC,QE=1.因此,三棱锥 Q-APB 的体积为 VQ-ABP= QES ABP= 1 32 sin45=1.13 13 12 28.(2018 天津,文 17)如图,在四面体 ABCD 中, ABC 是等边三
13、角形,平面 ABC平面 ABD,点 M 为棱 AB的中点, AB=2,AD=2 , BAD=90.3(1)求证: AD BC;(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值;(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 .(1)证明 由平面 ABC平面 ABD,平面 ABC平面 ABD=AB,AD AB,可得 AD平面 ABC,故 AD BC.(2)解 取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND.又因为 M 为棱 AB 的中点,故 MN BC.所以 DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角 .在 Rt DAM 中, AM=1,故 DM= .AD2+AM2= 139因为 AD
14、平面 ABC,故 AD AC.在 Rt DAN 中, AN=1,故 DN= .AD2+AN2= 13在等腰三角形 DMN 中, MN=1,可得 cos DMN= .12MNDM= 1326所以,异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 .1326(3)解 连接 CM.因为 ABC 为等边三角形, M 为边 AB 的中点,故 CM AB,CM= .又因为平面 ABC平3面 ABD,而 CM平面 ABC,故 CM平面 ABD.所以, CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 .在 Rt CAD 中, CD= =4.AC2+AD2在 Rt CMD 中,sin CDM= .CMCD= 34所以,直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .34
