1、1课时作业 51 证明、最值、范围、存在性问题基础达标12018全国卷设椭圆 C： y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A， B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB.解析：(1)由已知得 F(1,0)， l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .(1，22) (1， 22)又 M(2,0)，所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)证明：当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB0.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂
2、直平分线，所以 OMA OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为y k(x1)( k0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x10，解得 k0)到直线 x y2 0 的距离为 d23，|c 22|2 c ，2又 a2 b2 c2， a ，3又椭圆 E 的交点在 x 轴上，椭圆 E 的方程为 y21.x23(2)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则联立直线 l 与椭圆方程有Error!得(3 k21)x26 mkx3 m230.又| BC| x1 x2 2 y1 y2 2 ，1 k212 3k2 m2 13k2 1平方得| BC|2 ， 12 1 k
3、2 3k2 m2 1 1 3k2 2由 O 到直线 l 的距离为 ，|m|1 k2 323得 m2 (k21)，34代入式，得| BC|23 9k4 10k2 19k4 6k2 13 ，(1 49k2 1k2 6)当且仅当 k2 时，9 k2 6，| BC|有最大值 2.13 1k2( S BOC)max 2 ，12 32 32 BOC 的面积的最大值为 .3242018全国卷已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， B 两点，线x24 y23段 AB 的中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： k ；12(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 0.证明：|
4、 |，| |，| |成FP FA FB FA FP FB 等差数列，并求该数列的公差证明：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1.x214 y213 x224 y223两式相减，并由 k 得 k0.y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y23由题设知 1， m，于是 k .x1 x22 y1 y22 34m由题设得 0 m ，故 k .32 12(2)由题意得 F(1,0)设 P(x3， y3)，则(x31， y3)( x11， y1)( x21， y2)(0,0)由(1)及题设得 x33( x1 x2)1，y3( y1 y2)2 m0.又点 P 在 C 上，所以
5、 m ，从而 P ，34 (1， 32)| | ，FP 32于是| | 2 .FA x1 1 2 y21 x1 1 2 3(1 x214) x12同理| |2 .FB x22所以| | |4 (x1 x2)3.FA FB 12故 2| | | |，即| |，| |，| |成等差数列FP FA FB FA FP FB 设该数列的公差为 d，则2|d| | | |x1 x2| .FB FA 12 12 x1 x2 2 4x1x24将 m 代入得 k1，34所以 l 的方程为 y x ，代入 C 的方程，并整理得747x214 x 0.14故 x1 x22， x1x2 ，代入解得| d| .128
6、32128所以该数列的公差为 或 .32128 3212852019广州模拟已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，且 F2到直线 x y90 的距离等于椭圆的短轴长3(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 的圆心为 P(0， t)(t0)，且经过 F1， F2， Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外，过点 Q 作圆 P 的切线，切点为 M，当| QM|的最大值为 时，求 t 的值322解析：(1)设椭圆的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意可知，2 b 4，所以 b2.|1 9|2又 c1，故 a2 b2 c25，故椭圆 C 的方程为 1.x25 y
7、24(2)设 Q(x0， y0)，圆 P 的方程为 x2( y t)2 t21.因为 PM QM，所以|QM| |PQ|2 t2 1 x20 y0 t 2 t2 1 . 14 y0 4t 2 4 4t2若4 t2，即 t ，12当 y02 时，| QM|取得最大值，|QM|max ，4t 3322解得 t 2，即 0b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，离心率为 ，点 A 是椭圆上任意一点， AF1F2的周长为 42 .32 35(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 Q(4,0)任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，记 ，若在线段 MNMQ QN 上取一点 R，使
8、得 ，则当直线 l 转动时，点 R 在某一定直线上运动，求该定直MR RN 线的方程解析：(1)因为 AF1F2的周长为 42 ，3所以 2a2 c42 ，即 a c2 .3 3又椭圆的圆心率 e ，所以 a2， c ，ca 32 3所以 b2 a2 c21.所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)由题意可知，直线 l 的斜率必存在故可设直线 l 的方程为 y k(x4)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，由Error! 消去 y，得(14 k2)x232 k2x64 k240，由根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x2 ， 32k24k2 1 64k2 44k2 1由 ，得
9、(4 x1， y1) (4 x2， y2)，MQ QN 所以4 x1 (x24)，所以 .x1 4x2 4设点 R 的坐标为( x0， y0)，由 ，得( x0 x1， y0 y1) (x2 x0， y2 y0)，MR RN 所以 x0 x1 (x2 x0)，解得 x0 .x1 x21 x1 x1 4x2 4x21 x1 4x2 4 2x1x2 4 x1 x2 x1 x2 8而 2x1x24( x1 x2)2 4 ，64k2 44k2 1 32k24k2 1 84k2 1(x1 x2)8 8 ， 32k24k2 1 94k2 1所以 x01.故点 R 在定直线 x1 上能力挑战72019豫北名
10、校联考已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，以原点 O 为x2a2 y2b2 63圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x y60 相切26(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知点 A， B 为动直线 y k(x2)( k0)与椭圆 C 的两个交点，问在 x 轴上是否存在定点 E，使得 2 为定值？若存在，试求出点 E 的坐标和定值；若不存在，请说EA EA AB 明理由解析：(1)由 e ，即 ，得 c a，(*)63 ca 63 63由已知得圆的方程为 x2 y2 a2，又圆与直线 2x y60 相切，2所以 a ，代入(*)式得 c2，622 2 2 6所以 b2 a2
11、c22，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x26 y22(2)存在由Error!得(13 k2)x212 k2x12 k260.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则x1 x2 ， x1x2 ，假设在 x 轴上存在定点 E(m,0)，12k21 3k2 12k2 61 3k2使得 2 ( ) 为定值，EA EA AB EA AB EA EA EB 则 ( x1 m， y1)(x2 m， y2)( x1 m)(x2 m) y1y2( k21) x1x2(2 k2 m)EA EB (x1 x2)(4 k2 m2) 的值与 k 无关， 3m2 12m 10 k2 m2 61 3k23 m212 m103( m26)，得 m .73此时， 2 m26 ，EA EA AB 59所以在 x 轴上存在定点 E ，(73， 0)使得 2 为定值，且定值为 .EA EA AB 59
