1、1第 2 讲 直线、平面平行的判定与性质1(2019常州模拟)下面的说法中，_是平面 平面 的一个充分条件存在一条直线 a， a ， a ；存在一条直线 a， a ， a ；存在两条平行直线 a， b， a ， b ， a ， b ；存在两条异面直线 a， b， a ， b ， a ， b .解析：若 l， a l， a ， a ，故错若 l， a ， a l，则 a ，故错若 l， a ， a l， b ， b l，则 a ， b ，故错答案：2下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是_解析：对于图
2、形，平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行，即可得到 AB平面 MNP；对于图形， AB PN，即可得到 AB平面 MNP；图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行答案：3过三棱柱 ABCA1B1C1的棱 A1C1、 B1C1、 BC、 AC 的中点 E、 F、 G、 H 的平面与平面_平行解析：如图所示，因为 E、 F、 G、 H 分别为 A1C1、 B1C1、 BC、 AC 的中点，所以 EF A1B1， FG B1B，且 EF FG F， A1B1 B1B B1，所以平面 EFGH平面 ABB1A1.2答案： ABB1A14(2019徐州月考改编)已知 m， n 是两条不同的直线，
3、 ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是_若 ， ，则 若 m n， m ， n ，则 若 m n， m ， n ，则 若 m n， m ，则 n 解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以错误答案：5.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在CD 上，若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_解析：因为 EF平面 AB1C， EF平面
4、 ACD，平面 ACD平面AB1C AC，所以 EF AC，又 E 为 AD 的中点， AB2，所以 EF AC .12 12 22 22 2答案： 26若 m， n 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若 m， n 都平行于平面 ，则 m， n 一定不是相交直线；若 m， n 都垂直于平面 ，则 m， n 一定是平行直线；已知 ， 互相平行， m， n 互相平行，若 m ，则 n ；若 m， n 在平面 内的射影互相平行，则 m， n 互相平行解析：为假命题，为真命题，在中， n 可以平行于 ，也可以在 内，故是假命题，在中， m， n 也可能异面，故为
5、假命题答案：7棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 AA1的中点，过 C， M， D1作正方体的截面，则截面的面积是_解析：由面面平行的性质知截面与平面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 .923答案：928设 ， ， 是三个不同的平面， a， b 是两条不同的直线，有下列三个条件： a ， b ； a ， b ； b ， a .如果命题“ a， b ，且_，则 a b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确条件的序号都填上)解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当 b ， a 时， a 和 b 在同一平面
6、内，且没有公共点，所以平行，正确故填入的条件为或.答案：或9如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，且 PQ AC， PN BD，则下列命题中，正确的序号是_ AC BD； AC截面 PQMN； AC BD；异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45.解析：由题意可知 PQ AC， QM BD， PQ QM，所以 AC BD，故正确；由 PQ AC 可得 AC截面 PQMN，故正确；由 PN BD 可知，异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN所成的角，又四边形 PQMN 为正方形，所以 MPN45，故正确；而 AC BD 没有论证来源答案：10如图所示，正方体
7、ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 AP ，过a3B1、 D1、 P 的平面交底面 ABCD 于 PQ， Q 在直线 CD 上，则 PQ_解析：因为平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面 B1D1P平面 ABCD PQ，平面 B1D1P平面 A1B1C1D1 B1D1，所以 B1D1 PQ.4又因为 B1D1 BD，所以 BD PQ，设 PQ AB M，因为 AB CD，所以 APM DPQ.所以 2，即 PQ2 PM.PQPM PDAP又知 APM ADB，所以 ，PMBD APAD 13所以 PM BD，又 BD a，所以 PQ a.13 2 223
8、答案： a22311如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 G、 H 分别是BC、 CC1、 C1D1、 A1A 的中点求证：(1)BF HD1；(2)EG平面 BB1D1D.证明：(1)如图，取 BB1的中点 M，连结 HM， MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以 HD1 MC1.又 MC1 BF，所以 BF HD1.(2)取 BD 的中点 O，连结 EO、 D1O，则 OE DC， 12又 D1G DC， 12所以 OE D1G， 所以四边形 OEGD1是平行四边形，所以 GE D1O.又 D1O平面 BB1D1D， EG平面 BB1D1D.所以 EG平面
9、 BB1D1D.12在三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 BC 的中点(1)若 E 为 A1C1的中点，求证： DE平面 ABB1A1；(2)若 E 为 A1C1上一点，且 A1B平面 B1DE，求 的值A1EEC1解：(1)证明：取 B1C1的中点 G，连结 EG、 GD，则 EG A1B1， DG BB1.又 EG DG G，所以平面 DEG平面 ABB1A1.又 DE平面 DEG，所以 DE平面 ABB1A1.(2)设 B1D 交 BC1于点 F，连结 EF，则平面 A1BC1平面 B1DE EF.因为 A1B平面5B1DE， A1B平面 A1BC1，所以 A1B EF.所以 .因为
10、 ，所以 .A1EEC1 BFFC1 BFFC1 BDB1C1 12 A1EEC1 121考察下列三个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 l、 m 为不同直线， 、 为不重合平面)，则此条件为_ Error! l ； Error! l ； Error! l .解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为： l .答案： l2过三棱柱 ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_条解析：各中点连线，只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1平行，如图，在四边形 EFGH 中有 6条符合题意答案：
11、63.如图，矩形 ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻转成 A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻转过程中，正确的命题是_ BM 是定值；点 M 在圆上运动；一定存在某个位置，使 DE A1C；一定存在某个位置，使 MB平面 A1DE.解析：取 DC 中点 N，连结 MN， NB，则 MN A1D， NB DE，所以平面 MNB平面 A1DE，因为 MB平面 MNB，所以 MB平面 A1DE，正确； A1DE MNB， MN A1D定值， NB DE定值，根据余弦定理得，12MB2 MN2 NB22 MNNBcos MNB，所以 MB 是定值
12、正确；B 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，6正确；当矩形 ABCD 满足 AC DE 时存在，其他情况不存在，不正确所以正确答案：4(2019江苏省第一次检测)在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形，SA SB SC15，平面 DEFH 分别与 AB， BC， SC， SA 交于 D， E， F， H.D， E 分别是 AB， BC的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为_解析：取 AC 的中点 G，连结 SG， BG.易知 SG AC， BG AC，故 AC平面 SGB，所以 AC SB.因为 SB平面 DEFH，
13、SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFH HD，则 SB HD.同理 SB FE.又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，则 H， F 也为 AS， SC 的中点，从而得 HF AC DE，所以四边形 12 DEFH 为平行四边形又 AC SB， SB HD， DE AC，所以 DE HD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 S HFHD .(12AC) (12SB) 452答案：4525(2019无锡检测)如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， AD DC CB a， ABC60，四边形 ACFE 是矩形，且平面 ACFE平面 ABCD，点 M 在线段 EF 上(1)求证： B
14、C平面 ACFE；(2)当 EM 为何值时， AM平面 BDF？证明你的结论解：(1)证明：在梯形 ABCD 中，因为 AB CD，AD DC CB a， ABC60，所以四边形 ABCD 是等腰梯形，且 DCA DAC30， DCB120，所以 ACB DCB DCA90，所以 AC BC.又平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCD AC，所以 BC平面 ACFE.(2)当 EM a 时， AM平面 BDF，证明如下：337在梯形 ABCD 中，设 AC BD N，连结 FN，如图，则 CN NA 12.因为 EM a，而 EF AC a，33 3所以 EM MF12，所以
15、 MF 綊 AN，所以四边形 ANFM 是平行四边形，所以 AM NF.又因为 NF平面 BDF， AM平面 BDF，所以 AM平面 BDF.6如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形， O 是底面中心， A1O底面ABCD， AB AA1 .2(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABDA1B1D1的体积解：(1)证明：由题设知， BB1 DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形，所以 BD B1D1.又 BD平面 CD1B1，所以 BD平面 CD1B1.因为 A1D1 B1C1 BC， 所以四边形 A1BCD1是平行四边形，所以 A1B D1C.又 A1B平面 CD1B1，所以 A1B平面 CD1B1.又因为 BD A1B B，所以平面 A1BD平面 CD1B1.(2)因为 A1O平面 ABCD，所以 A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1的高8又因为 AO AC1， AA1 ，12 2所以 A1O 1.又因为 S ABD 1，12 2 2所以 VABDA1B1D1 S ABDA1O1.
