1、12.5 二次函数与一元二次方程第 2 课时 利用二次函数求方程的近似根1会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2进一步体会二次函数与一元二次方程的关系(难点)一、情境导入你能根据函数 y x22 x5 的图象(如图)，求出方程 x2 2x50 的近似根吗(精确到 0.1)?由图象知，抛物线与 x 轴有两个公共点，它们分别位于 x 轴上 1 和 2、4 和3 之间，所以一元二次方程 x2 2x50 有两个根，它们分别介于 1 和 2、4 和3 之间这两个根分别是 1.5 和3.5 吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】 利用二次函数估算一元二次方程的近似根利
2、用二次函数的图象估计一元二次方程 x22 x10 的近似根(精确到 0.1)解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是相应的方程的解解：方程 x22 x10 根是函数 y x22 x1 与 x 轴交点的横坐标作出二次函数 y x22 x1 的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在1 和 0 之间，另一个在 2 和 3 之间先求1 和 0 之间的根，当 x0.4 时，y0.04；当 x0.5 时， y0.25.因此， x0.4(或 x0.5)是方程的一个近似根同理， x2.4(或 x2.5)是方程的另一个近似根方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答
3、，锻炼了学生数形结合的思想方法【类型二】 列表求一元二次方程的近似根2下面表格列出了函数 y ax2 bx c(a， b， c 是常数，且 a0)部分 x 与 y 的对应值，那么方程 ax2 bx c0 的一个根 x 的取值范围是( )x 6.17 6.18 6.19 620y 0.03 0.01 0.02 0.04A.6 x6.17 B6.17 x6.18C6.18 x6.19 D6.19 x6.20解析：由表格中的数据得，在 6.17 x6.20 范围内， y 随 x 的增大而增大，当x6.18 时， y0.01，当 x6.19 时， y0.02，方程 ax2 bx c0 的一个根 x 的
4、取值范围是 6.18 x6.19，故选 C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与 x 轴交点的坐标的可能位置变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 1 题【类型三】 利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2 bx c0的近似根为( )A x12.1， x20.1 B x12.5， x20.5C x12.9， x20.9 D x13， x21解析：由图象可得二次函数 y ax2 bx c 图象的对称轴为 x1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5， x20.5；又对称轴为 x1，则1， x12(1)0.
5、52.5.故 x12.5， x20.5.故选 B.x1 x22方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型四】 利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数 y2 x22 和函数 y5 x1.(1)你能用图象法求出方程 2x225 x1 的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解解：(1)如图在平面直角坐标系内画出 y2 x22 和函数 y5
6、x1 的图象，如图所示：3图象交点的横坐标是 ，3，故 2x225 x1 的解是 x1 ， x23；12 12(2)由(1)可知交点横坐标即为方程 2x225 x1 的解，化简得 2x25 x30，因式分解，得(2 x1)( x3)0.解得 x1 ， x23，可知(1)中求得的解正确12方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题【类型五】 二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程 x2 x30 时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线 y x2和直线 y x3，两图象交点的横坐标就是该方程的解
7、(1)填空：利用图象解一元二次方程 x2 x30，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 y_和直线 y x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数 y 的图象(如图所示)，利用图象求方程 x30 的近似根(结果保6x 6x留两个有效数字)解析：(1)一元二次方程 x2 x30 可以转化为 x23 x，所以一元二次方程x2 x30 的解可以看成抛物线 y x23 与直线 y x 交点的横坐标；(2)函数 y的图象与直线 y x3 的交点的横坐标就是方程 x30 的近似根6x 6x解：(1) x23(2)图象如图所示：4由图象可得，方程 x30 的近似根为 x11.4， x24.4.
8、6x方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与 y h 的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1利用二次函数估算一元二次方程的近似根2列表或利用图象求一元二次方程的近似根3利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.
