1、第七章 不等式、推理与证明,-2-,7.1 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应 边界直线,则把边界直线画成 . (2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由A
2、x0+By0+C的 即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.,平面区域,不包括,包括,实线,相同,符号,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的 ; 当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的 . 注:其中Ax+By+C的符号是给出的二元一次不等式的符号. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.,上方,下方,-6-,知识梳理,双基自测,2,1,2.线性规划的相关概念,线性约束条件,
3、可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)不等式x-y-10表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( ),答案,-8-,知识梳理
4、双基自测,2,3,4,1,5,2.下列各点中,不在x+y-10表示的平面区域内的是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是( ) A.m1 B.m1 C.m1,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法
5、表示平面上的一个区域. 2.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. 3.求线性目标函数z=ax+by(ab0)的最值,当b0时,若直线过可行域且在y轴上截距最大,则z值最大;若在y轴上截距最小,则z值最小;当b0时,则相反.,-13-,考点1,考点2,考点3,思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?,D,D,-14-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)如图,不等式组表示的平面区域是AOC,当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过中的那部分区域为图中的四边形AODE,其面积为,-15-
6、考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法: (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域. (2)若不等式带等号,则边界为实线;若不等式不带等号,则边界为虚线.,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,(2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0. 把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+
7、2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+20, 把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-10,-20-,考点1,考点2,考点3,考向一 求线性目标函数的最值,A.0 B.1 C.2 D.3 思考怎样利用可行域求线性目标函数的最值?,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考向二 已知目标函数的最值求参数的取值A.-1,2 B.-2,1 C.-3,-2 D.-3,1 思考如何利用可行域及最优解求参数及其范围?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考向三 求非线性目标函数的最值A.4 B.9 C.10 D.12 思考如
8、何利用可行域求非线性目标函数最值?,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值. 3.利用可行域
9、求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.,-24-,考点1,考点2,考点3,6,A,-25-,考点1,考点2,考点3,D,B,-26-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,(3)作出约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分),其中A(0,1),B(1,0),C(3,4).,-29-,考点1,考点2,考点3,(4)如图所示,不等式组表示的平面区域是ABC的
10、内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是1,4.,-30-,考点1,考点2,考点3,例5电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:,已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.,-31-,考点1,考点2
11、考点3,(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 思考求解线性规划的实际问题要注意什么?,-32-,考点1,考点2,考点3,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:,-33-,考点1,考点2,考点3,(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.,所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解线性规划的实际问题要注意两点: (1)设出未知数x,y,并写出问题中的约束
12、条件和目标函数,注意约束条件中的不等式是否含有等号; (2)判断所设未知数x,y的取值范围,分析x,y是否为整数、非负数等.,-36-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018北京海滨二模)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每名同学的往返车费及服务老人的人数如下表:,根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有 人.,答案,解析,-37-,考点1,考点2,考点3,线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.,
