1、1第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4.能利用上述公式进行简单的恒等变换知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(2)cos( )cos_ cos_ sin_ sin_ ；(3)tan( ) .tan tan 1tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos ；(2)cos 2
2、cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；(3)tan 2 .2tan 1 tan23.必会结论（1）降幂公式：cos 2 ，sin 2 .1 cos22 1 cos22（2）升幂公式：1cos2 2cos 2 ，1cos2 2sin 2 .（3）公式变形：tan tan tan( )(1tan tan )（4）辅助角公式： asinx bcosx sin(x )，a2 b2其中 sin ，cos .ba2 b2 aa2 b2（5）sin 15 ，cos 15 ，tan 15 2 .6 24 6 24 3(6)公式的逆用：1sin 2 (sin cos )2；sin cos s
3、in .2 ( 4)典型例题考点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)【例 1】化简求值：（1）sin 20cos 10cos 160sin 102（2) sin 110sin 20cos2155 sin2155（3）sin 50(1 tan 10).3【答案】 （1） （2） .(3)112 12【解析】 （1）sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30 12（2） .sin 110sin 20cos2155 sin2155sin 70sin 20cos 310 cos 20sin 20cos 50 1
4、2sin 40sin 4012(3)sin 50(1 tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)3sin 50cos 60cos 10 sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50 1cos （ 60 10）cos 60cos 10 2sin 50cos 50cos 10 sin 100cos 10cos 10cos 10规律方法 “给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解【变式训练 1】化简求值：(1)cos 15 sin 15cos 15 sin 15（2）2cos 1
5、0 sin 20sin 70(3) 4cos 50tan 40【答案】 （1） .(2) .(3) .33 3 3【解析】 （1）法一：原式 tan 30 .1 tan 151 tan 15tan 45 tan 151 tan 45tan 15 33法二：原式 .2(sin 45cos 15 cos 45sin 15)2(sin 45cos 15 cos 45sin 15) sin 30sin 601232 33法三： 2 .(cos 15 sin 15cos 15 sin 15) 1 sin 301 sin 3013又 0， .cos 15 sin 15cos 15 sin 15 cos 1
6、5 sin 15cos 15 sin 15 33(2)原式 2cos 30 20 sin 20sin 703 .2 cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3(3) 4cos 50tan 404cos 50 sin 40cos 404sin 40cos 40cos 40 sin 40cos 40 2sin 80 sin 40cos 40 2cos 10 sin 40cos 40 2cos 10 sin 30 10cos 40 32cos 10 32sin 10cos 40 3 cos 30cos 10 sin 30sin 10c
7、os 40 . 3cos 40cos 40 3所以 f(x)的对称中心为 (kZ)(k2 12， 0)(2) 因为 x ，所以 2x .所以 sin 1， 6， 3 6 6 56 12 (2x 6)所以1f(x)2.所以当 x 时，f(x)的最小值为1； 6当 x 时，f(x)的最大值为 2. 6规律方法（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称 、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用（2）把形如 y asin x bcos x 的函数化为 y sin(x ) 的形式，可进一步研a2 b2 (其 中 tan ba)究函数的周期、单调性、最值与对称性【变式训练 4】已知函数
8、f(x)sin 2x sinxsin (0)的最小正周期为 .（1）写出函3 ( x 2) 2数 f(x)的单调递增区间；（2）求函数 f(x)在区间 上的取值范围0， 3【答案】(1) (kZ)(2) .k2 12， k2 6 0， 32【解析】(1) f(x) sin2x sin2x cos2x sin .因为 T ，1 cos2 x2 32 32 12 12 (2 x 6) 12 2所以 (0)，所以 2，f(x)sin .22 2 (4x 6) 12于是由 2k 4x 2k ，解得 x (kZ) 2 6 2 k2 12 k2 6所以 f(x)的增区间为 (kZ)k2 12， k2 64
9、(2) 因为 x ，所以 4x ，所以 sin ，0， 3 6 6， 76 (4x 6) 12， 1所以 f(x) .故 f(x)在区间 上的取值范围是 .0，32 0， 3 0， 32课堂总结1转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换， “1”的变换，和积变换2变换则必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数课后作业1 sin 34sin 26cos 34cos 26的值是( )A B
10、C D12 32 12 32【答案】C.【解析】 sin 34sin 26cos 34cos 26(cos 34cos 26sin 34sin 26)cos (3426)cos 60 .122tan 20tan 40 tan 20tan 40 .3【答案】 .3【解析】 tan (2040) ， tan 20tan 40tan 20tan tan 20 tan 401 tan 20tan 40 3 340，即 tan 20tan 40 tan 20tan 40 .3 332017全国卷已知 sin cos ，则 sin2 ( )43A B C D79 29 29 79【答案】A.【解析】 si
11、n cos ，43(sin cos )212sin cos 1sin 2 ，sin 2 .故选 A169 794函数 f(x) sin xcos x 的最小值为_3【答案】-2.【解析】函数 f(x)2sin 的最小值是2.(x 6)55若锐角 ， 满足 tan tan tan tan ，则 _.3 3【答案】 . 3【解析】 由已知可得 ，即 tan( ) .又 (0，)，所以 tan tan 1 tan tan 3 3. 36.已知 sin ， 0，则 cos 的值是( )( 2 ) 12 2 ( 3)A. B. C D112 23 12【答案】 C【解析】 由已知得 cos ，sin ，
12、cos cos sin .12 32 ( 3) 12 32 1272017江苏高考若 tan ，则 tan _.( 4) 16【答案】 7582017全国卷函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为_【答案】 5【解析】 f(x)2cos xsin x ，5(255cosx 55sinx)设 sin ，cos ，则 f(x) sin(x )，255 55 5函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为 .592018武汉模拟计算 tan15 的值为( )1tan15A. B2 C4 D22 2【答案】 C6【解析】 tan15 4.1tan15sin15cos15cos15sin15
13、sin215 cos215sin15cos15 2sin30102018重庆质检计算 sin20cos110cos160sin70的值为( )A0 B1 C1 D.12【答案】 C【解析】 原式sin20cos(18070)cos(18020)sin70sin20cos70cos20sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.故选 C.11在 ABC 中，tan Atan B tanAtanB，则 C 等于( )3 3A. B. C. D. 3 23 6 4【答案】 A 【解析】 由已知得 tanAtan B (1tan AtanB)，3 ，即 tan(A B) .ta
14、nA tanB1 tanAtanB 3 3又 tanCtan( A B)tan( A B) ，0 C， C .3 312. 2016全国卷若 cos ，则 sin2 ( )( 4 ) 35A. B. C D725 15 15 725【答案】 D【解析】法一：sin2 cos cos 2cos2 12 21 .故选 D.( 2 2 ) 2( 4 ) ( 4 ) (35) 725法二：cos (cos sin ) cos sin 1sin2 ，sin2 .故选( 4 ) 22 35 325 1825 725D.13. 2017全国卷已知 ，tan 2，则 cos _.(0， 2) ( 4)【答案】
15、 31010【解析】 cos cos cos sin sin (cos sin )( 4) 4 4 22又由 ，tan 2，知 sin ，cos ，(0， 2) 255 55cos .( 4) 22 (55 255) 3101014已知 f(x)2 sinxcosx2cos 2x1( xR)37(1)求函数 f(x)的最小正周期及在 上的最大值和最小值；0， 2(2)若 f(x0) ， x0 ，求 cos 的值65 4， 2 (2x0 6)【答案】 (1) f(x)max2， f(x)min1.(2) .4515. 2017北京高考已知函数 f(x) cos 2sin xcos x.3 (2x
16、 3)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求证：当 x 时， f(x) . 4， 4 12【答案】 (1) .(2)略. 【解析】(1) f(x) cos 2x sin 2xsin 2 x32 32 sin 2x cos 2xsin ，12 32 (2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)证明：因为 x ，所以 2 x ， 4 4 6 3 56所以 sin sin ，(2x 3) ( 6) 12所以当 x 时， f(x) . 4， 4 1216已知函数 f(x)2sin xsin .(x 6)(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；8(2)当 x 时，求函数 f(x)的值域0， 2【答案】 (1) ， ， kZ.(2) .12 k ， 512 k 0， 1 32【解析】(1) f(x)2sin x sin2xsin .所以函数 f(x)的最(32sinx 12cosx) 3 1 cos2x2 12 (2x 3) 32小正周期为 T.由 2 k2 x 2 k， kZ， 2 3 2解得 k x k， kZ，12 512所以函数 f(x)的单调递增区间是 ， kZ.12 k ， 512 k (2)当 x 时，2 x ，sin ， f(x) .故 f(x)的值域为0， 2 3 3， 23 (2x 3) 32， 1 0， 1 32.0， 132
