1、1第三节 等比数列及其前 n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列 的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q 表示( q0) 数学语言表达式： q(n2， q 为非零常数)，或 q(nN *， q 为非零常数).anan 1 an 1an2等比数列的通项公式设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an
2、 a1qn1 (a10， q0)3等比中项如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a， G， b 成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， G2 ab， G ，称 G 为 a， b 的等比中项Ga bG ab4等比数列的前 n 项和公式等比数列 an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Sn na1；当 q1 时， Sn .a1 1 qn1 q a1 anq1 q5等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： an amqn m(n， mN )(2)若 an为等比数列，且若 m n p q2 k(m， n， p， q， kN *)，则 aman apaq a .2k(3
3、)若 an， bn(项数相同)是等比数列，则 a n( 0)， ， a ， anbn， 仍是等比1an 2n anbn数列(4)等比数列 an的单调性：当 q1， a10 或 0 q1， a10 时，数列 an是递增数列； 当 q1， a10 或 0 q1， a10 时，数列 an是递减数列；当 q1 时，数列 an是常数列.(5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等比数列，公比为 qm.(6)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn.典型例题考点一 等比数列基本量的运算2【例 1】(
4、1)在等比数列 an中， a37，前 3 项和 S321，则公比 q 的值为( )A1 B C1 或 D1 或12 12 12【答案】C【解析】根据已知条件得Error!Error! 得 3.1 q q2q2整理得 2q2 q10，解得 q1 或 q .12(2)2017江苏高考等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3 ， S6 ，则74 634a8_.【答案】 32【解析】 设 an的首项为 a1，公比为 q，则Error! 两式相除得 ，1 q31 q6 1 q3 1 q3 1 q3 19解得Error! 所以 a8 272 532.14(3)(2016全国卷)设等
5、比数列满足 a1 a310， a2 a45，则 a1a2an的最大值为_.【答案】6规 律方法 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算【变式训练 1】 (1)2017全国卷我国古代数学名著算法统宗 中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯(
6、 )A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】 B【解析】 设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知3S7381， q2， S7 381，解得 a13.故选 B.a1 1 q71 q a1 1 271 2（2）设正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 0， q1， a3 a520， a2a664，则 S5_.【答案】 31【解析】 a3a5 a2a664，因为 a3 a520，所以 a3和 a5为方程 x220 x640 的两根，因为an0， q1，所以 a3a5，所以 a516， a34，所以 q 2，所以 a1 1，所以a5a3 164 a3q2
7、44S5 31.1 q51 q9.设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9等于( )A. B C. D.18 18 578 558【答案】 A【解析】 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即 8，1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6)1，即 S9 S6 .故选 A.1810.各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2， S3n14，则 S4n等于( )A80 B30 C26 D16【答案】 B【解析】 由题意知公比大于 0，由等比数列性质知 Sn， S2n Sn， S
8、3n S2n， S4n S3n，仍为等比数列设 S2n x，则 2， x2,14 x 成等比数列由( x2) 22(14 x)，解得 x6 或 x4(舍去) Sn， S2n Sn， S3n S2n， S4n S3n，是首项为 2，公比为 2 的等比数列又 S3n14， S4n1422 330.故选 B.511.(2016全国)已知数列 an的前 n 项和 Sn1 a n，其中 0.(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132【答案】 （1）略（2） 1.【解析】(1)证明 由题意得 a1 S11 a 1，故 1， a1 ， a10.11 由 Sn1 a n， S
9、n1 1 a n1 ，得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n，由a10， 0 得 an0，所以 .因此 an是首项为 ，公比为 的等比数列， an 1an 1 11 1于是 an n1 .11 ( 1)(2)解 由(1)得 Sn1 n.由 S5 得 1 5 ，即 5 .( 1) 3132 ( 1) 3132 ( 1) 132解得 1.12.已知数列 an满足对任意的正整数 n，均有 an1 5 an23 n，且 a18. (1)证明：数列 an3 n为等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)记 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.an3n【答案】 （1） an3 n
10、5 n.（2） Tn n .5n 123n 52【解析】(1)因为 an1 5 an23 n，所以 an1 3 n1 5 an23 n3 n1 5( an3 n)，又 a18，所以 a1350，所以数列 an3 n是首项为 5、公比为 5 的等比数列所以 an3 n5 n，所以 an3 n5 n.(2)由(1)知， bn 1 n，an3n 3n 5n3n (53)则数列 bn的前 n 项和 Tn1 11 2 1 n n n .(53) (53) (53)531 (53)n1 53 5n 123n 5213.已知数列 an满足 2a14 a22 nan .n n 12(1)求证：数列 是等比数列；ann(2)求数列 an的前 n 项和 Tn.【答案】 （1）略（2） Tn2 .n 22n6【解析】(1)证明：当 n1 时，由 2a11，得 a1 ，12当 n2 时，由 2a14 a22 nan ，得n n 122a14 a22 n1 an1 ， n 1 n2于是 2nan n，整理得 n，又 a1 符合上式，n n 12 n 1 n2 ann (12) 12所以数列 是等比数列ann
