1、1第七节 正弦定理和余弦定理最新考纲1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知识梳理1正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理内容 2 R.(R 为 ABC 外接圆半径)asin A bsin B csin C a2 b2 c22 bccos A；b2 c2 a22 cacos B；c2 a2 b22 abcos C变形形式(1)a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；(2)a b csin Asin Bsin C；(3)sin A ，sin B ，sin Ca2R b2R c2Rc
2、os A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22cacos Ca2 b2 c22ab2.在 ABC 中，已知 a、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a bsin A bsin A a b a b a b解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边 a 上的高 )；12(2)S absin C acsin B bcsin A；12 12 12(3)S r(a b c)(r 为内切圆半径)124. 三角形中的常见结论(1) ABC，变形： .A B2 2 C2(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A
3、BabsinAsinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边2(4)在三角形中有：s in 2Asin 2 BA B 或 2A+2B=三角形为等腰或直角三角形；（5）三角形中的三角函数关系：sin(A B)sin C； cos( A B)cos C；sin cos ； cos sin .A B2 C2 A B2 C2典型例题考点一 正弦定理解三角形【例 1】 在ABC 中，a ，b ，B45.求角 A、C 和边 c.3 2【答案】当 A60时，C75，c ；当 A120时，C15，c .6 22 6 22【解析】由正弦定理，得 ，即 ， sinA .asinA bsinB 3
4、sinA 2sin45 32 ab， A60或 A120.当 A60时，C180456075，c ；bsinCsinB 6 22当 A120时，C1804512015，c .bsinCsinB 6 22规律方法 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理 时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.【变式训练 1】在ABC 中，(1) 若 a4，B30，C105，则 b_(2) 若 b3，c ，C45，则 a_2(3) 若 AB ，BC ，C30，则A_3 6【答案】(1) 2 .(2) 无解(3) A45或 135. 2【解析】(1) 已知两角和一边只有一
5、解，由B30，C105，得A45.由正弦定理，得 b 2 .asinBsinA 4sin30sin45 2(2) 由正弦定理得 sinB 1， 无解bsinCC 32(3) 由正弦定理 ，得 ， sinA .BCsinA ABsinC 6sinA 312 22 BCAB， AC， A45或 135.考点二 余弦定理解三角形【例 2】 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 .cosBcosC b2a c3(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b ，ac4，求ABC 的面积13【答案】(1) B .(2) S ABC .23 334规律方法 (1)运用余弦定理时，要注意整体思
6、想的运用 (2)在已知三角形两边及其中一 边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用【变式训练 2】在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，已知 c2，C . 3(1) 若ABC 的面积等于 ，求 a、b；3(2) 若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积【答案】(1) a2，b2. (2) S .233【解析】(1) 由余弦定理及已知条件，得 a2b 2ab4.因为ABC 的面积等于 ，所以 absinC ，得 ab4.312 3联立方程组 解 得 a2，b2.a2 b2 ab 4
7、，ab 4， )(2) 由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0 时，A ，所以 B ，所以 a ，b . 2 6 433 233当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组 解得 a ，b . a2 b2 ab 4，b 2a， ) 233 433所以ABC 的面积 S absinC .12 233考点三 三角形形状的判定4【例 3】设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC ccosB asinA，则 ABC 的形状为( )A锐角三角形 B直角三角
8、形C钝角三角形 D不确定【答案】 B【解析】 bcosC ccosB asinA，由正弦定理得 sinBcosCsin CcosBsin 2A，sin( B C)sin 2A，即 sinAsin 2A.又 sinA0，sin A1， A ，故 ABC 为直角三角形 2【题点发散 1】 本例条件变为若 ，判断 ABC 的形状ab cosBcosA【答案】 ABC 为等腰三角形或直角三角形【解析】 由 ，得 ，ab cosBcosA sinAsinB cosBcosAsin AcosAcos BsinB，sin2 Asin2 B. A、 B 为 ABC 的内角，2 A2 B 或 2A2 B， A
9、B 或 A B ， ABC 为等腰三角形或直角三角形 2【题点发散 2】 本例条件变为若 a2 bcosC，判断 ABC 的形状【答案】三角形定是等腰三角形【解析】法一：因为 a2 bcosC，所以由余弦定理得， a2 b ，整理得 b2 c2，则此三角形一a2 b2 c22ab定是等腰三角形法二：sin A2sin BcosC，sin( B C)2sin BcosC，sin( B C)0，0，于是有 cosBb， B45， A180604575.3在 ABC 中， A60， AC4， BC2 ，则 ABC 的面积等于_.3【答案】2 .3【解析】由题意及余弦定理得 cos A ，解得 c2，
10、所以 S bcsin b2 c2 a22bc c2 16 1224c 12 12A 42sin 602 .12 34在 ABC 中， acos A bcos B，则这个三角形的形状为_【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2 B，所以 2A2 B 或 2A2 B，即7A B 或 A B ，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 25设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a2，cos C ，3sin A2sin B，则14c_.【答案】 4【解析】 由 3sinA2sin B 及正
11、弦定理，得 3a2 b，所以 b a3.由余弦定理的推论得 cosC32，得 ，解得 c4.a2 b2 c22ab 14 22 32 c22236.设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c.若 b c2 a,3sinA5sin B，则角 C_. 【答案】 23【解析】 由 3sinA5sin B，得 3a5 b， a b，又 b c2 a，所以 c b.53 73根据余弦定理的推论 cosC ，a2 b2 c22ab把 a b， c b 代入，化简得 cosC ，所以 C .53 73 12 237. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若
12、 2bcosB acosC ccosA，则 B_.【答案】 3【解析】 法一：由 2bcosB acosC ccosA 及正弦定理，得 2sinBcosBsin AcosCsin CcosA.2sin BcosBsin( A C)又 A B C， A C B.2sin BcosBsin( B)sin B.又 sinB0，cos B . B .12 3法二：在 ABC 中， acosC ccosA b，条件等式变为 2bcosB b，cos B .12又 0B， B . 38. 2016全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cosA ，cos C ， a1，则
13、45 513b_.【答案】 2113【解析】 由条件可得 sinA ，sin C ，从而有 sinBsin( A C)sin( A C)35 12138sin AcosCcos AsinC .由正弦定理 ，可知 b .6365 asinA bsinB asinBsinA 21139.在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边的长分别为 a， b， c，若 asinA bsinB csinC，则 ABC 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】 C【解析】 根据正弦定理可得 a2 b2 c2.由余弦定理的推论得 cosC 0，故 C 是钝角a2 b2 c22ab1
14、0.已知 a， b， c 分别为 ABC 内角 A， B， C 的对边，sin 2B2sin Asin C(1)若 a b，求 cos B；(2)设 B90，且 a ，求 ABC 的面积2【答案】(1) . (2)1.1411. 2017全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 .a23sinA(1)求 sinBsinC；(2)若 6cosBcosC1， a3，求 ABC 的周长【答案】(1) .(2)3 .23 33【解析】(1)由题设得 acsinB ，即 csinB .12 a23sinA 12 a3sinA由正弦定理得 sinCsin
15、B .故 sinBsinC .12 sinA3sinA 23(2)由题设及(1)得 cosBcosCsin BsinC ，即 cos(B C) .12 12所以 B C ，故 A .23 3由题意得 bcsinA ， a3，所以 bc8.由余弦定理得 b2 c2 bc9，12 a23sinA即( b c)23 bc9.由 bc8，得 b c .故 ABC 的周长为 3 .33 33912. 2017全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知sinA cosA0， a2 ， b2.3 7(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的
16、面积【答案】(1) c4(2) .313.2017全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .B(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b.【答案】(1) (2) 2.1517【解析】(1)由题设及 A B C 得 sin B8sin 2 ，B故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)，或 cos B .故 cos B .1517 1517(2)由 cos B 得 sin B ，故 S ABC acsin B ac.1517 817 12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6 得 b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B)362 4.所以 b2.172 (1 1517)10
