1、1第八节 解三角形应用举例最新考纲1.正余弦定理在应用题中的应用2.能准确地建立数学模型，并能用正弦定理和余弦定理解决问题.知识梳理1.仰角和俯角在视线和水平线所成的 角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)3.方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90的角叫做方向角，如北偏东 ，南偏西 .特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成 45角称为西南方向，东北方向等(1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；(2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；(3)南偏
2、西等其他方向角类似4. 坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所 成的二 面角的度数(如图，角 为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图， i 为坡度)坡度又称为坡比5.必会结论(1)仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的(2)“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是 .0， 2)典型例题考点一 测量距离问题【例 1】 要测量对岸 A， B 两点之间的距离，选取相距 km 的点 C，点 D，并测得 ACB75，3 BCD45， ADC30， ADB45，则点 A， B 之间的距离为_ .【答案】 .52规律方法 求解距离问题
3、的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问 题.(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形. 课后作业1.若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 AC BC，则点 A 在点 B 的( )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10【答案】A.【解析】 如图所示， ACB90.又 AC BC， CBA45，而 30， 90453015.点 A 在点 B 的北偏西 15.2在相距 2 千米的 A， B 两点处测量目标点 C，若 CAB75， CBA60，则 A， C 两点之间的
4、距离为 千米.【答案】 . 6【解析】如图所示，由题意知 C45，3由正弦定理得 ， AC .ACsin 60 2sin 45 222 32 63一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60，另一灯塔在船的南偏东 75，则这艘船每小时航行 海里.【答案】8.【解析】 如图，由题意知在 ABC 中， ACB756015， B15， AC AB8.在 Rt AOC 中， OC ACsin 304.这艘船每小时航行 8(海里).4124轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C，两船航行方向的夹角为 120，两船的
5、航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_ n mile.【答案】70 【解析】设两船之间的距离为 d，则 d250 230 225030cos 1204 900，所以 d70，即两船相距 70 n mile.5.如图所示，要测量一水塘两侧 A， B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC， BC 的长 b， a，则可求出 A， B 两点间的距离，即 AB .若a2 b2 2abcos 测得 CA400 m， CB600 m， ACB60，试计算 AB 的长【答案】200 m.7【解析】在 ABC 中，
6、由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB， AB2400 2600 22400600cos 60280 000， AB200 (m)，即 A， B 两点间的距离为 200 m.7 76.在一次海上联合作战演习中，红方一艘 侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，红方侦察艇以 每小时14 n mile 的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值.4【答案】需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 .5314【解析】如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14 x， BC10 x， ABC120.根据余弦定理 得(14 x)212 2(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28， BC20.根据正弦 定理得 ，解得 sin .BCsin ACsin 120 20sin 12028 5314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 .5314
