1、1第六节 简单的三角恒等变换题型 1 三角形中的恒等变换【例 1】 已知ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 sin2 cos ，求角 C 的大小2C C2 2【答案】C . 2【解析】由 sin2 cos ，得 cos ，2C C2 2 2(1 cos2C2) C2 2整理得 cos 0. 因为在ABC 中，0C，所以 0 .C2(2cosC2 1) C2 2所以 cos ， 从 而 ，即 C .C2 22(舍 去 cosC2 0) C2 4 2【变式训练 1】在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 2asinB b .求角 A 的大小3【答
2、案】A . 3【解析】由已知，得 2sinAsinB sinB，且 B ，3 (0， 2) sinB0， sinA ，且 A ， A .32 (0， 2) 3题型 2 角的构造技巧与公式的灵活运用【例 2】 求 sin210cos 240sin10cos40的值【答案】 .34【解析】因为 403010，于是原式sin 210cos 2(3010)sin10cos(3010)sin 210 sin10( cos10 sin10) (sin210cos 210) . (32cos10 12sin10)2 32 12 34 34【变式训练 2】求 sin220cos 280 sin20cos80的
3、值3【答案】 .14【解析】sin 220cos 280 sin20cos80 (1cos40)3121 cos40 (cos120cos40sin120sin40)12 12sin20(cos60cos20sin60sin20)31 cos40 cos40 sin40 sin40 sin22012 14 34 34 321 cos40 (1cos40) .34 34 14题型 3 三角函数的综合问题2【例 3】 函数 f(x)sin sin sinxcosx(x R)( 4 x) ( 4 x) 3(1) 求 f 的值；(2) 在ABC 中，若 f 1，求 sinBsin C 的最大值( 6)
4、 (A2)【答案】(1) 1.（2） .3【变式训练 3】已知 a(cosxsinx，sinx)， b(cosxsinx，2cosx)，设 f(x) ab.(1) 求函数 f(x)的最小正周期； (1) 求 的值；(2) 求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2【答案】(1) 1.（2）x0 时，f(x)取得最小值1；x 时，f(x)取得最大值 .38 32 12【解析】f(x) ab(2sinxcosx)sinx(2sinxcosx)cosx2sin 2x3sinxcosxcos 2x 1cos2x sin2x (1cos2x)32 12 (sin2xcos2x) sin .32
5、12 322 (2 x 4) 12(1) 因为函数 f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 ，所以函数 f(x)的最小正周期 T，则 21.(2) 1，f(x) sin . x ， 2x ，322 (2x 4) 12 0， 2 4 4， 34则当 2x ，即 x0 时，f(x)取得最小值1； 4 4当 2x ，即 x 时，f(x)取得最大值 . 4 2 38 32 123. 设函数 f(x)(sinxcosx) 22cos 2x(0)的最小正周期为 . 23(1) 求 的最小正周期；3(2) 若函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象向右平移 个单位长度得到，求 yg(x)的单调增区间
6、 2【答案】(1) .（2） (kZ)32 23k 4， 23k 712【解析】(1) f(x)(sinxcosx)22cos 2xsin 2xcos 2xsin2x1cos2xsin2xcos2x2 sin 2，2 (2 x 4)依题意得 ，故 的最小正周期为 .22 23 32(2) 依题意得 g(x) sin 2 sin 2，2 3(x 2) 4 2 (3x 54)由 2k 3x 2k (kZ)，得 k x k (kZ)， 2 54 2 23 4 23 712故 yg(x)的单调增区间为 (kZ )23k 4， 23k 7124. 设函数 f(x) sinxcosxcos 2xa.3(1) 写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当 x 时，函数 f(x)的最大 值与最小值的和为 ，求 a 的值 6， 3 32【答案】(1) ； (kZ) （2）a0. 6 k ， 23 k
