1、1第六节 直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的_推理论证_，最后推导出所要证明的结论_成立_，这种证明方 法叫做综合法框图表示： (P 表示已知条件、已有的定义、定理、PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ公理等， Q 表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的_结论_出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明
2、方法叫做分析法框图表示： .QP1 P1P2 P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件2间接证明反证法：假设原命题_不成立_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_矛盾_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法3利用反证法证题的步骤(1)反设：假设所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件， 由此出发经过正确的推理，导出矛盾与假设矛盾，与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论
3、的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)4.反证法证明中，常见的“结论词”与“反设词”原结论词 反设词 原结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q p 且 q至多有 n 个 至少有 n1 个 p 且 q p 或 q典型例题 考点一 分析法的应用 2【例 1】 已知 a0，证明 a 2.a2 1a2 2 1a规律方法 （1）当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往 采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等
4、式或不等式，常考虑用分析法（2）分析法的特点和思路是“执果索因” ，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性【变式训练 1】已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， A， B， C 的对边分别为 a， b， C求证： . 1a b 1b c 3a b c【证明】 要证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，也就 是 1，a b ca b a b cb c ca b ab c只需证 c(b c) a(a b)( a b)(b c)，需证
5、 c2 a2 ac b2，又 ABC 三内角 A， B， C 成等差数列， 故 B60，由余弦定理，得 b2 c2 a22 accos 60，即 b2 c2 a2 ac，故 c2 a2 ac b2成立于是原等式成立.考点二 综合法的应用 【例 2】 已知函数 f(x)ln(1 x)， g(x) a bx x2 x3，函数 y f(x)与函数 y g(x)的图象12 133在交点(0,0)处有公共切线(1)求 a， b 的值；(2)证明： f(x) g(x)【解析】 (1) f( x) ， g( x) b x x2，11 x由题意得Error!解得 a0， b1.(2)证明：令 h(x) f(x
6、) g(x)ln ( x1) x3 x2 x(x1)，13 12h( x) x2 x1 ，1x 1 x3x 1 x1，当10；当 x0 时， h( x)Q B P QC Pcn1 .7【解析】由题意知， an ， bn n， cn n .显然， cn随着 n 的增大而n2 1 n2 11n2 1 n减小， cncn1 . 8.设 a， b， c 均为正数，且 a b c1.证明：(1) ab bc ac ；(2) 1； （3） .13 a2b b2c c2a a b c 3【证明】 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，得 a2 b2 c2 ab bc ca
7、，由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1.所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca .13(2)因为 b2 a， c2 b， a2 c， a2b b2c c2a故 ( a b c)2( a b c)，即 a b c.a2b b2c c2a a2b b2c c2a所以 1.a2b b2c c2a（3）欲证 ，a b c 3则只需证( )23，a b c即证 a b c2( )3，ab bc ac即证 1.ab bc ac又 1，当且仅当 a b c 时取“” ，ab bc aca b2 b c2 a c2 13原不等式 成立a b c 39.等差
8、数列 的前 n 项和为 Sn， a11 ， S393 .an 2 2(1)求数列 的通项 an与前 n 项和 Sn；an(2)设 bn (nN *)，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列Snn bn【解析】(1)由已知得Error! d2.故 an2 n1 ， Sn n(n )2 2810.已知 f(x) x2 ax b.(1)求 f(1) f(3)2 f(2)(2)求证：| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 . 12【解析】 (1)因为 f(1) a b1， f(2)2 a b4， f(3)3 a b9，所以 f(1) f(3)2 f(2)2.(2)证明：假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，12则 f(1) ， f(2) ， f(3) .12 12 12 12 12 12所以12 f(2)1，1 f(1) f(3)1，所以2 f(1) f(3)2 f(2)2，这与 f(1) f(3)2 f(2)2 矛盾，所以假设错误，即所证结论成立
