1、1第 2讲 综合大题部分1已知在平面直角坐标系中，动点 P(x， y)(x0)到点 N(1,0)的距离比到 y轴的距离大 1.(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与轨迹 C相交于 A， B两点，设点 Q在直线 x y10 上，且满足 t (O为坐标原点)，求实数 t的最小值OA OB OQ 解析：(1)因为点 P(x， y)(x0)到点 N(1,0)的距离比到 y轴的距离大 1，所以|PN|1| x|，将点 P坐标代入，并整理得 y24 x.故点 P的轨迹 C的方程是 y24 x.(2)由题意知直线 AB的斜率存在且与抛物线 y24 x有两个交点，设直线AB： y
2、 k(x2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， Q(x， y)，由Error!得 k2x24( k21) x4 k20( k0) 16(2 k21)0 恒成立，所以 x1 x2 ， x1x24，4 k2 1k2因为 t ，OA OB OQ 所以( x1 x2， y1 y2) t(x， y)，即 x ， yx1 x2t 4 k2 1k2t y1 y2t ，k x1 2 k x2 2t k x1 x2 4kt 4tk又点 Q在 x y10 上，所以 10.4 k2 1k2t 4tk所以 t4( 1)4( )233.1k2 1k 1k 12故实数 t的最小值为 3.2已知在平面直角坐标系
3、 xOy中，椭圆 C： 1( ab0)的长轴长为 4，离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C的标准方程；(2)过右焦点 F作一条不与坐标轴平行的直线 l，若 l交椭圆 C于 A、 B两点，点 A关于原点 O的对称点为 D，求 ABD的面积的取值范围解析：(1)椭圆 C： 1( ab0)的长轴长为 4，离心率为 ，x2a2 y2b2 1222 a4， e ，又 a2 b2 c2，ca 12 a2， b ，3则椭圆 C的标准方程为 1.x24 y23(2) D是点 A关于原点的对称点，原点 O是线段 AD的中点，则 S ABD2 S ABO2 |AB|dO| AB|dO(dO为点 O
4、到直线 l的距离)，12由直线 l过右焦点 F，且不与坐标轴平行，可设直线 l： x my1， m0，联立方程得Error!得(3 m24) y26 my90，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!得| AB| |y1 y2|1 m2 .1 m2 y1 y2 2 4y1y212 m2 13m2 4又 dO ，1m2 1则 S ABD 12 m2 13m2 4 1m2 1 12m2 13m2 4 12m2 13 m2 1 1 ，123m2 1 1m2 1令 t (1，)，m2 1则 y3 t 在(1，)上单调递增，1t则 3t (4，)，1t则 S ABD (0,3) ，1
5、23m2 1 1m2 1即 ABD的面积的取值范围为(0,3)3(2018高考浙江卷)如图，已知点 P是 y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线 C： y24 x上存在不同的两点 A， B满足 PA， PB的中点均在 C上3(1)设 AB中点为 M，证明： PM垂直于 y轴；(2)若 P是半椭圆 x2 1( xb0)的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的x2a2 y2b2离心率为 ，| AB| .53 13(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(kx10，点 Q的坐标为( x1， y1)由 BPM的面积是 BPQ面积的 2倍，可得| PM|2| PQ|，从而 x2 x12 x1( x1)，即 x25 x1.易知直线 AB的方程为 2x3 y6，由方程组Error!消去 y，可得 x2 .由方程组63k 2Error!消去 y，可得 x1 .由 x25 x1，可得 5(3 k2)，两边平方，整69k2 4 9k2 4理得 18k225 k80，解得 k ，或 k .当 k 时， x290，不合题意，89 12 89舍去；当 k 时， x212， x1 ，符合题意12 125所以， k的值为 .12
