1、11 等腰三角形第 1 课时 三角形的全等和等腰三角形的性质教学目标一、基本目标1了解作为证明基础的 8 条公理的内容2使学生经历“探索 发现猜想证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理3让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式4经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系二、重难点目标【教学重点】等腰三角形的性质及推论【教学难点】运用等腰三角形的性质及推论解决相关问题及证明的书写格式教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P2P3 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1
2、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等2全等三角形的对应边相等、对应角相等3等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角4等腰三角形“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合5如图，已知12，则不一定能使 ABD ACD 的条件是( B )A BD CDB AB ACC B CD BAD CAD26如图， ABC CDA，那么下列结论错误的是( D )A12 BACCAC D B DACBC环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，ABACAD，若BAD80，则BCD( )A80 B100 C140 D160【互动探索】
3、(引发学生思考)由边相等可以得到什么？这与BCD 有什么关系？【分析】BAD80，BBCDD360BAD280.又ABACAD，BACB，ACDD，BCDACBACD2802140.【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)求角的度数时，需根据实际情况分析：(1)在等腰三角形中，要考虑三角形内角和定理；(2)有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；(3)两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于 180.【例 2】等腰三角形的一个角等于 30，求它其余两角的度数【互动探索】(引发学生思考)等腰三角形的角有什么特征？已知角是顶角还是底角？【解
4、答】分情况讨论：当底角为 30时，顶角度数为 180230120；当顶角为 30时，底角度数为(18030)275.综上，该等腰三角形其余两角的度数为 30，120或 75，75.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角分类讨论是正确解答本题的关键活动 2 巩固练习(学生独学)1至少有两边相等的三角形是( B )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D锐角三角形2在ABC 中，若 ABAC，A44，则B68 度3已知等腰三角形两条边的长分别是 3 和 6，则它的周长等于 15.4如图所示，已知 ABAC，FDBC 于
5、点 D，DEAB 于点 E，若AFD145，则3EDF55 度5如图所示，点 D 是ABC 内一点，ABAC，12.求证：AD 平分BAC.证明：12，BDDC.ABAC，ADAD，ADBADC，BADCAD，即 AD 平分BAC.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，在ABC 中，已知 ABAC，BAC 和ACB 的平分线相交于点D，ADC125.求ACB 和BAC 的度数【互动探索】根据等腰三角形“三线合一”可得 AEBC求出CDE根据“直角三角形两锐角互余”求出DCE根据角平分线的定义求出ACB根据“等腰三角形两底角相等”列式求出BAC.【解答】ABAC，AE 平分BAC，AEB
6、C.ADC125，CDE180ADC55，DCE90CDE35.又CD 平分ACB，ACB2DCE70.ABAC，BACB70，BAC180(BACB)40.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角平分线或底边上的高与其他两线互相重合环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1两三角形全等的判定： AAS、 ASA、 SSS、 SAS.2等腰三角形Error! 练习设计4请完成本课时对应练习！第 2 课时 等边三角形的性质
7、教学目标一、基本目标1进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的性质2学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题3把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处二、重难点目标【教学重点】等腰三角形、等边三角形的相关性质【教学难点】等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P5P6 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等2等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 6
8、0.3一个等腰非等边三角形中，它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条)( B )A9 B7 C6 D54等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( B )A顶角 B顶角的一半C顶角的 2 倍 D底角的一半环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】 如图，在ABC 中，ABAC，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，求证：DEBC.5【互动探索】(引发学生思考)要证 DEBC，需证ADEABC，从而结合已知条件考虑证BECCDB 即可【证明】ABAC，ABCACB.又CDAB 于点 D，BEAC 于点E，AEBADC90，ABEACD，ABCABEACBACD
9、，EBCDCB.在BEC 和CDB 中，Error! BECCDB，BDCE，ABBDACCE，即 ADAE，ADEAED.又A 是ADE 和ABC 的顶角，ADEABC，DEBC.【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等【例 2】如图，ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连结BE、DE.若ABE40，BEDE，求CED 的度数【互动探索】(引发学生思考)由ABC 是等边三角形可以得到哪些结论？如何利用这些结论求CED?【解答】ABC 是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE20.
10、BEDE，DEBC20，CEDACBD40.【互动总结】(学生总结，老师点评)等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握活动 2 巩固练习(学生独学)1如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，ABBCACBD，则ADC 的大小为( D )A120 B135 C145 D15062如图所示，ABC 为等边三角形，AQPQ，PRPS，PRAB 于点 R，PSAC 于点S，则下列四个结论正确的是( A )点 P 在BAC 的平分线上； ASAR；QPAR；BRPCSP.A全部正确 B仅和正确C仅和正确 D仅和正确3已知等腰三角
11、形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 40，则此等腰三角形的顶角为 50或 130.4如图所示，已知 lm，等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20，求 的度数解：如题图，过点 C 作 CE直线m.lm，lmCE，ACE，BCECBF20.在等边三角形 ABC 中，ACB60，CBFACB60，40.5如图，ABC 为正三角形，点 M 是边 BC 上任意一点，点 N 是边 CA 上任意一点，且BMCN，BN 与 AM 相交于点 Q，求BQM 的度数解：ABC 为正三角形，ABCCBAC60，ABBC.在AMB 和BNC 中，Error! AM
12、BBNC，BAMCBN，BQMABQBAMABQCBNABC60.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，已知等边ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且CECD，DMBC，垂足为 M，求证：BMEM.7【互动探索】要证 BMEM，由题意证BDMEDM 即可【证明】连结 BD.在等边ABC 中，D 是 AC 的中点，ABCACB60，DBC ABC30.CECD，CDEE.ACBCDEE，E30，12DBCE30.DMBC，DMBDME90.在DMB 和DME 中，Error! DMBDME，BMEM.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以利用三角形
13、全等得到此外，要明确等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等2等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60.练习设计请完成本课时对应练习！第 3 课时 等腰三角形的判定与反证法教学目标一、基本目标1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明2了解反证法的基本证明思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形的判定定理【教学难点】利用反证法进行证明教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【
14、5 min 阅读】阅读教材 P8P9 的内容，完成下面练习8【3 min 反馈】1有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边2先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法3用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设三角形的三个外角中，有两个锐角4如图所示，在 ABC 中， A36， AB AC， BD 是 ABC 的角平分线若在边 AB上截取 BE BC，连结 DE，则图中等腰三角形共有( D )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个环节 2 合作探究，解决问题活动
15、 1 小组讨论(师生互学)【例 1】 如图，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高，AE 是BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：CEF 是等腰三角形【互动探索】(引发学生思考)要证CEF 是等腰三角形，结合已知条件考虑证明 CECF即可【证明】在ABC 中，ACB90，BBAC90.CD 是 AB 边上的高，ACDBAC90，BACD.AE 是BAC 的平分线，BAEEAC.又BBAEAEC，ACDEACCFE，CEFCFE，CECF，CEF 是等腰三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一
16、个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立【例 2】求证：ABC 中不能有两个钝角【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明时，假设什么？【证明】假设ABC 中能有两个钝角，不妨设A90，B90，C90，9所以ABC180，这与三角形的内角和为 180矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即ABC 中不能有两个钝角【互动总结】(学生总结，老师点评)反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能的情况如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，则必须一一否定活动 2 巩固练习(学生独学)1用
17、反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先应假设这个三角形中( C )A有一个内角大于 60B有一个内角小于 60C每一个内角都大于 60D每一个内角都小于 602在等腰梯形 ABCD 中， ABC2 ACB， BD 平分 ABC， AD BC，则图中的等腰三角形有( D )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图，在 43 的正方形网格中，点 A、B 分别在格点上，在图中确定格点 C，则以A、B、C 为顶点的等腰三角形有 3 个4用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角证明：不妨设等腰三角形ABC 中，A 为顶角，则分情况证明设B、C 都是直角，则BC180，故ABC18
18、0A180，这与三角形内角和等于180矛盾；设B、C 都是钝角，则BC180，故ABC180，这与三角形内角和等于 180矛盾综上所述，假设错误，所以B、C 只能为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角5如图所示，D 为ABC 的边 AB 的延长线上一点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，交BC 于点 E，且 BDBE，求证：ABC 是等腰三角形10证明：DFAC，DFAEFC90，AD90，C190，ADC1.BDBE，2D.12，1D，ADCD，AC，ABBC，ABC 是等腰三角形活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC
19、边上，且BECF，BDCE.(1)求证：DEF 是等腰三角形；(2)当A50时，求DEF 的度数【互动探索】(1)根据“等边对等角”可得BC，从而利用“边角边”证明BDECEF，进而根据“全等三角形对应边相等”可得 DEEF，即可证得结论；(2)根据“全等三角形对应角相等”可得BDECEF，从而得到BEDCEFBEDBDE，再利用三角形的外角定理求出BDEF，进而求出DEF.【解答】(1)证明：ABAC，BC.在BDE 和CEF 中，Error! BDECEF，DEEF，DEF 是等腰三角形(2)BDECEF，BDECEF，BEDCEFBEDBDE.BBDEDEFCEF，BDEF.A50，AB
20、AC，B (180A)65，DEF65.12【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)2反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立11练习设计请完成本课时对应练习！第 4 课时 等边三角形的判定及含 30角的直角三角形的性质教学目标一、基本目标1理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有 30角的直角三角形性质及其证明，并能利用这些定理解决一
21、些简单的问题2经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维二、重难点目标【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明【教学难点】理解并掌握含 30角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P10P12 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形2在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半3等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( A )A120 B130 C150 D1604下列三角形：
22、有两个角等于 60；有一个角等于 60的等腰三角形；三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有( D )A BC D环节 2 合作探究，解决问题12活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足关系式 a2c 22ab2bc2b 2，试说明ABC 是等边三角形【互动探索】(引发学生思考)证明ABC 是等边三角形应从哪些角度考虑？(边、角)结合已知条件，本题应从边的角度考虑证明ABC 是等边三角形【证明】原关系式整理，得 a2c 22ab2bc2b 20，a 2b 22abc 22bcb 20
23、，(ab) 2(bc) 20，ab0 且 bc0，即 ab 且 bc，abc，ABC 是等边三角形【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形【例 2】如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，CD 是斜边 AB 上的高，AD3 cm，则 AB 的长度是( )A3 cm B6 cm C9 cm D12 cm【互动探索】(引发学生思考)在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，ADC90，ACDB30，在 RtACD 中，AC2AD6 cm，在 R
24、tABC 中，AB2AC12 cm.即 AB 的长度是 12 cm.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)运用含 30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形活动 2 巩固练习(学生独学)1若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是( D )A等腰三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等边三角形2下列说法错误的是( C )A等边三角形是等腰三角形B一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形13C有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D有两个内角分别是 70和 40的三角形是等腰三角形3 ABC 中， AB AC， A C，则 B60.4在 ABC 中， B C
25、15， AB2 cm， CD AB 交 BA 的延长线于点 D，则 CD 的长度是 1 cm.5如图所示， P、 Q 是 ABC 边 BC 上的两点，且 BP PQ QC AP AQ，求 BAC 的度数解： PA PQ AQ， APQ 是等边三角形， APQ PQA QAP60. PA PB， B PAB.又 B PAB APQ60， PBA PAB30.同理， QAC30， BAC BAP PAQ QAC306030120.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，在 EBD 中， EB ED，点 C 在 BD 上， CE CD， BE CE， A 是 CE 延长线上一点， AB BC.
26、试判断 ABC 的形状，并证明你的结论【互动探索】由 CE CD， EB ED，根据“等边对等角”及三角形外角性质，可得 CBE ECB.再由 BE CE，根据三角形内角和定理，可得 ECB60.又 AB BC，从12而得出 ABC 是等边三角形【解答】 ABC 是等边三角形证明如下： CE CD， CED D.又 ECB CED D， ECB2 D. BE DE， CBE D， ECB2 CBE， CBE ECB.12 BE CE， CEB90.又 ECB CBE CEB180， ECB ECB90180，12 ECB60.又 AB BC， ABC 是等边三角形14【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：证明另一边也与这两边相等；证明这个三角形中有一个角等于 60.(2)已知一个三角形中有一个角等于 60，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：证明另外两个角也等于 60；证明这个三角形中有两边相等环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1等边三角形的判定定理：Error! 2含 30角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半练习设计请完成本课时对应练习！
