1、1第二十八章 锐角三角函数1.解直角三角形的方法:(1)直接利用定义求值法A 的正弦 sinA= = ; 的 对边斜 边 aA 的余弦 cosA= = ; 的 邻边斜 边 bA 的正切 tanA= = . 的 对边的 邻边 a概念是解直角三角形的基础,要结合图形记忆理解,它同勾股定理相结合,使得在直角三角形中求边长和锐角度数更加灵活.【例 1】在 RtABC 中,C=90,AC=3,BC=4,则 AB= ,sinA= .【标准解答】如图,C=90,AC=3,BC=4,AB= = =5,A2+2 32+42sinA= = .B45答案:5 45(2)设参数求值法当条件为已知某两条线段比或某一锐角
2、的三角函数值(非特殊角的三角函数值),求图形中其他角的三角函数值时,通常设参数求值,注意参数只是解题的桥梁,不参与最后结果.【例 2】在ABC 中,C=90,sinA= ,求 sinB 的值.36【标准解答】sinA= ,362设 BC= k,AB=6k.3又C=90,故 AC= = k,(6)2( 3)2 33sinB= = = .A336 336(3)构造直角三角形求值法在某些问题的图形中根本看不到直角三角形,这时需要根据条件通过作辅助线构造直角三角形,然后利用直角三角形的相关知识解决问题.当两个直角三角形拥有公共边时,先求出这条公共边是解答此类题的一般思路.【例 3】如图,在ABC 中,
3、B=45,cosC= ,AC=5a,则ABC 的面积用含 a 的式子表示是 .35【标准解答】过 A 作 ADBC 于 D.在 RtACD 中,AC=5a,cosC= ,35CD=ACcosC=3a,AD= =4a.A22在 RtABD 中,AD=4a,B=45,BD=AD=4a.BC=BD+CD=4a+3a=7a.故 = BCAD= 7a4a=14a2.S12 12答案:14a 23【例 4】如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分別是 AB,AD 的中点,若 EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC 等于 ( )A. B. C. D.34 43 35 45【标准解答】选 B.连接 BD.
4、E,F 分別是 AB,AD 的中点.BD=2EF=4,BC=5,CD=3,BCD 是直角三角形.tanC= .43(4)构造方程求值法这类题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解,这时可以引入未知数,让未知数参与运算,最后列方程求解.【例 5】周末,身高都为 1.6 米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角 为 45,小丽站在 B 处(A,B 与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角 为 30.她们又测出 A,B 两点的距离为 30 米.假设她们的眼睛离头顶都为 10cm,则可计算出塔高约为(结
5、果精确到 0.01,参考数据: 1.414, 1.732) ( )2 3A.36.21 米 B.37.71 米 C.40.98 米 D.42.48 米【标准解答】选 D.已知小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角 为 45,小丽站在 B 处(A,B 与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角 为 30,A,B 两点的距离为 30 米.假设她们的眼睛离头顶都为 10cm,4所以设塔高为 x 米则得:=tan 30= ,x1.6+0.11.6+0.1+30 33解得:x42.48.1.在ABC 中,AB=12 ,AC=13,cosB= ,则 BC 边长为 ( )222A.7 B.8C.8 或 17 D.7 或
6、 172.如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线,CEAB 于点 E,交 BD 于点 F,且点 E 是 AB 中点,则 tanBFE 的值是 ( )A. B.2 C. D.12 33 33.如图,已知ABC 的三个顶点均在格点上,则 cosA 的值为 ( )A. B.33 55C. D.233 2554.如图,菱形 ABCD 的边长为 15,sinBAC= ,则对角线 AC 的长为 .355.如图,在ABC 中,C=90,A=30,BD 是ABC 的平分线.若 AB=6,则点 D 到 AB 的距离是 .56.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是边 AD 的中点.
7、若 AC=10,DC=2 ,则 BO= 5,EBD 的大小约为 度 分.(参考数据:tan 2634 )127.已知 , 均为锐角,且满足|sin- |+ =0,则 += .12 (1)28.如图,在ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CAB=ACB,过点 B 作 BEAB 交 AC 于点 E.(1)求证:ACBD.(2)若 AB=14,cosCAB= ,求线段 OE 的长.789.如图,在ABC 中,ABC=90,BC=3,D 为 AC 延长线上一点,AC=3CD,过点 D 作 DHAB,交 BC 的延长线于点 H.(1)求 BDcosHBD 的值.(2)若CBD=A,求 A
8、B 的长.610.如图,AD 是ABC 的中线,tanB= ,cosC= ,AC= .求:13 22 2(1)BC 的长.(2)sinADC 的值.2.解直角三角形的实际应用(1)俯角、仰角问题利用解直角三角形知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形.解题时要认真审题,读懂题意,弄清仰角、俯角含义,然后再作图解答.【例 1】如图,为了测量某建筑物 CD 的高度,先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30,然后在水平地面上向建筑物前进了 100m,此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角是 45.已知测角仪的高度是 1.5m,请你计算7出该建筑物的高度.(取 1
9、.732,结果精确到 1m)3【标准解答】设 CE=xm,则由题意可知 BE=xm,AE=(x+100)m.在 RtAEC 中,tanCAE= ,C即 tan 30= ,x+100 = ,3x= (x+100),x+10033 3解得 x=50+50 136.6.CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1138(m).3答:该建筑物的高度约为 138m.(2)方位角、方向角问题弄清方位角的具体表示方法及对应的角是解题的基础,往往需作垂线构造直角三角形,利用解直角三角形知识解答.参照物不同的方位角,要注意借助两个“十字方向”中的平行线性质解题.【例 2】五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖
10、光岩参加社会实践活动,在景点 P 处测得景点 B 位于南偏东 45方向;然后沿北偏东 60方向走 100 米到达景点 A,此时测得景点 B 正好位于景点 A 的正南方向,求景点 A 与 B 之间的距离.(结果精确到 0.1 米)【标准解答】作 PCAB 于 C,ACP=BCP=90,APC=30,BPC=45.在 RtACP 中,ACP=90,APC=30,AC= AP=50,PC= AC=50 .12 3 3在 RtBPC 中,8BCP=90,BPC=45,BC=PC=50 .3AB=AC+BC=50+50 50+501.732=136.6(米).3答:景点 A 与 B 之间的距离大约为 1
11、36.6 米.【例 3】如图,在 A 岛周围 25 海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到 O 处时,发现 A 岛在北偏东 60方向,轮船继续前行 20 海里到达 B 处发现 A 岛在北偏东 45方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险?(参考数据 1.732)3【规范解答】根据题意,有AOC=30,ABC=45,ACB=90,所以 BC=AC,在 RtAOC 中,由 tan30= ,A得 = ,33 A20+解得 AC= 27.32(海里),2031因为 27.3225,所以轮船不会触礁.(3)坡度、坡角问题在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角是一锐角,坡度实际就是一
12、锐角的正切值,实质是解直角三角形问题,画出正确的图形更有助于解题.【例 4】河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡度是 1 (坡度是坡面的铅直高度 BC 与水3平宽度 AC 之比),则 AC 的长是 ( )9A.5 米 B.10 米 3C.15 米 D.10 米3【标准解答】选 A.RtABC 中,BC=5 米,tanA=1 ;3AC=BCtanA=5 米.3【例 5】某水坝的坡度 i=1 ,坡长 AB=20 米,则坝的高度为 ( )3A.10 米 B.20 米C.40 米 D.20 米3【标准解答】选 A.如图:坡度 i=1 ,3设 AC=x,BC= x,3根据勾股定理得
13、,AC 2+BC2=AB2,则 x2+( x)2=202,解得 x=10.31.如图,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的方向,前进 40 海里到达 B 点,此时,测得海岛 C 位于北偏东 30的方向,则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 是( )A.20 海里 B.40 海里C.20 海里 D.40 海里3 32.如图,从一个建筑物的 A 处测得对面楼 BC 的顶部 B 的仰角为 32,底部 C 的俯角为 45,观测点与楼的水平距离 AD 为 31m,则楼 BC 的高度约为 m(结果取整数).(参考数据:sin 320.5,cos 320.8,tan 320.6)
14、103.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知 BC=4 米,AB=6 米,中间平台宽度 DE=1 米,EN,DM,CB为三根垂直于 AB 的支柱,垂足分别为 N,M,B,EAB=31,DFBC 于 F,CDF=45,求 DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度.(结果精确到 0.1 米,参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60)4.如图,要测量 A 点到河岸 BC 的距离,在 B 点测得 A 点在 B 点的北偏东 30方向上,在 C 点测得 A 点在 C点的北偏西 45方向上,又测得 BC=150m.求 A 点到河岸 BC 的距离.(结果保留整数)(
15、参考数据:1.41, 1.73)2 3115.如图是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是 10 米,CBDB,坡面 AC 的倾斜角为 45.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面 DC 的坡度为 i= 3.若新坡角下需留 3 米宽的人行道,问3离原坡角(A 点处)10 米的建筑物是否需要拆除?(参考数据: 1.414, 1.732)2 36.如图,台风中心位于点 O 处,并沿东北方向(北偏东 45),以 40 千米/小时的速度匀速移动,在距离台风中心 50 千米的区域内会受到台风的影响,在点 O 的正东方向,距离 60 千米的地方有一城市 A.2(1)问:A 市是否会受到此台风的
16、影响,为什么?(2)在点 O 的北偏东 15方向,距离 80 千米的地方还有一城市 B,问:B 市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受到影响,请说明理由.127.如图,轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处,轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处,测得CAO=45.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h.经过 0.1 h,轮船甲行驶至 B 处,轮船乙行驶至 D 处,测得DBO=58,此时 B 处距离码头 O 有多远?(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60)8.如
17、图所示,港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处,小岛 C 位于港口 O 北偏西60的方向.一艘游船从港口 O 出发,沿 OA 方向(北偏西 30)以 vkm/h 的速度驶离港口 O,同时一艘快艇从港口 B 出发,沿北偏东 30的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C,在小岛 C 用 1h 加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.(1)快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间?(2)若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h,求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离.9.如图 1 是一把折叠椅子,图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,其中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管,
18、EG 表示座板平面,EG 和 BC 相交于点 F,MN 表示地面所在的直线,EGMN,EG 距 MN 的高度为1342cm,AB=43cm,CF=42cm,DBA=60,DAB=80.求两根较粗钢管 AD 和 BC 的长.(结果精确到 0.1 cm.参考数据:sin 800.98,cos800.17,tan805.67,sin600.87,cos60=0.5,tan601.73)10.如图,一艘轮船航行到 B 处,测得小岛 A 在船的北偏东 60的方向,轮船从 B 处继续向正东方向航行200 海里到达 C 处时,测得小岛 A 在船的北偏东 30的方向.已知在小岛 170 海里内有暗礁,若轮船不
19、改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?( 1.732)31411.某海域有 A,B 两个港口,B 港口在 A 港口北偏西 30方向上,距 A 港口 60 海里,有一艘船从 A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于 B 港口南偏东 75方向的 C 处,求该船与 B 港口之间的距离即 CB 的长(结果保留根号).1516跟踪训练答案解析1.解直角三角形的方法:【跟踪训练】1.【解析】选 D.cosB= ,22B=45,当ABC 为钝角三角形时,如图 1,AB=12 ,B=45,2AD=BD=12,AC=13,由勾股定理得 CD=5,BC=BD-CD=12-5=7;当ABC 为锐角三
20、角形时,如图 2,BC=BD+CD=12+5=17,故选 D.2.【解析】选 D.连接 AC.CE 垂直平分 AB,BC=AC.又四边形 ABCD 是菱形,AB=BC.ABC 是等边三角形,ABC=60.ABD= ABC=30.12BFE=60.tanBFE= .33.【解析】选 D.过 B 点作 BDAC,如图,由勾股定理得,AB= = ,12+32 10AD= =2 ,22+22 217cosA= = = .A22102554.【解析】连接 BD,交 AC 与点 O,四边形 ABCD 是菱形,ACBD,在 RtAOB 中,AB=15,sinBAC= ,35sinBAC= = ,BO=9,B
21、35AB 2=OB2+AO2,AO= = =12,A22 15292AC=2AO=24.答案:245.【解析】C=90,A=30,ABC=180-30-90=60,BD 是ABC 的平分线,DBC= ABC=30,12BC= AB=3,12CD=BCtan30=3 = ,33 318BD 是ABC 的平分线,又角平分线上的点到角两边的距离相等,点 D 到 AB 的距离=CD= .3答案: 36.【解析】在矩形 ABCD 中,AC=10,BD=AC=10,BO= BD=5.12DC=2 ,5AD= =4 ,A22 5tanDAC= = ,C12tan 2634 ,DAC2634,12OAB=OB
22、A=90-DAC=6326,E 是 AD 的中点,AE=AB=2 ,5ABE=AEB=45,EBD=OBA-ABE=1826.答案:5 18 267.【解析】|sin- |+ =0,12 (1)2sin= ,tan=1,=30,=45,12则 +=30+45=75.答案:758.【解析】(1)CAB=ACB,AB=CB,ABCD 是菱形.ACBD.(2)在 RtAOB 中,cosOAB= = ,AB=14,AO=14 = ,A78 7849419在 RtABE 中,cosEAB= = ,AB=14,AE= AB=16.A78 87OE=AE-AO=16- = .4941549.【解析】(1)D
23、HAB,BHD=ABC=90,ABCDHC, = =3,ABCH=1,BH=BC+CH=4,在 RtBHD 中,cosHBD= ,BBDcosHBD=BH=4.(2)CBD=A,ABC=BHD,ABCBHD, = ,BAABCDHC, = =3,AB=3DH,AA = ,解得 DH=2,334AB=3DH=32=6,即 AB 的长是 6.10.【解析】(1)过点 A 作 AEBC 于点 E,cosC= ,C=45,22在 RtACE 中,CE=ACcosC=1,AE=CE=1,在 RtABE 中,tanB= ,即 = ,13 A13BE=3AE=3,BC=BE+CE=4.20(2)AD 是AB
24、C 的中线,CD= BC=2,DE=CD-CE=1,12AEBC,DE=AE,ADC=45,sinADC= .222.解直角三角形的实际应用【跟踪训练】1.【解析】选 C.根据题意可知CAD=30,CBD=60,CBD=CAD+ACB,CAD=30=ACB,AB=BC=40 海里,在 RtCBD 中,BDC=90,DBC=60,sinDBC= ,Csin 60= ,CCD=40sin 60=40 =20 (海里).32 32.【解析】在 RtABD 中,AD=31,BAD=32,BD=ADtan 32310.6=18.6,在 RtACD 中,DAC=45,CD=AD=31,BC=BD+CD=1
25、8.6+31=49.6m.答案:49.6213.【解析】设 BM 为 x 米,则 DF=BM= x 米,在 RtCFD 中,CDF=45,CF=DFtan 45=DF=x 米,BF=BC-CF=(4-x)米,EN=BF=(4-x)米,在 RtANE 中,EAN=31,AN= = (4-x),E3140.653AN+MN+BM=AB,MN=DE=1, (4-x)+1+x=6,53解得 x=2.5.答:DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度约为 2.5 米.4.【解析】过点 A 作 ADBC 于点 D,设 AD=xm.在 RtABD 中,ADB=90,BAD=30,BD=ADtan 30= x.
26、33在 RtACD 中,ADC=90,CAD=45,CD=AD=x.BD+CD=BC, x+x=150,33x=75(3- )95.3即 A 点到河岸 BC 的距离约为 95m.225.【解析】需要拆除,理由为:CBAB,CAB=45,ABC 为等腰直角三角形,AB=BC=10 米,在 RtBCD 中,新坡面 DC 的坡度为 i= 3,即CDB=30,3DC=2BC=20 米,BD= =10 米,C22 3AD=BD-AB=(10 -10)米37.32 米,3+7.32=10.3210,需要拆除.6.【解析】(1)作 ADOC,由题意得:DOA=45,OA=60 km,2AD=DO=60 =60km,2 26050,A 市不会受到此台风的影响.(2)作 BGOC 于 G,由题意得:BOC=30,OB=80km,BG= OB=40km,1240170,轮船无触礁的危险.11.【解析】作 ADBC 于 D,EAB=30,AEBF,FBA=30,又FBC=75,ABD=45,又 AB=60,AD=BD=30 ,2BAC=BAE+CAE=75,ABC=45,C=60,在 RtACD 中,C=60,AD=30 ,2则 tanC= ,CD= =10 ,A 3023 6BC=30 +10 .2 6故该船与 B 港口之间的距离 CB 的长为 30 +10 海里.2 626
