1、17.2 等差数列及其前 n 项和最新考纲 考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用3.了解等差数列与一次函数的关系4.会用数列的等差关系解决实际问题.以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题和填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式如果等
2、差数列 an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an a1( n1) d.3等差中项由三个数 a， A， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时， A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： an am( n m)d(n， mN *)(2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， nN *)，则 ak al am an.(3)若 an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若 an， bn是等差数列，则 pan qbn也是等差数列(5)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak2
3、m，( k， mN *)是公差为 md 的等差数列(6)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式2设等差数列 an的公差为 d，其前 n 项和 Sn 或 Sn na1 d.na1 an2 nn 126等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列 an是等差数列 Sn An2 Bn(A， B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列 an中， a10， d0，则 Sn存在最小值概念方法微思考1 “a， A， b 是等差数列”是“ A ”的什么条件？a b2提示 充要条件2等差数列的前 n 项和 Sn是项数 n
4、 的二次函数吗？提示 不一定当公差 d0 时， Sn na1，不是关于 n 的二次函数3如何推导等差数列的前 n 项和公式？提示 利用倒序相加法题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)已知等差数列 an的通项公式 an32 n，则它的公差为2.( )(5)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 an an2 .( )(6)已知数列 an的通
5、项公式是 an pn q(其中 p， q 为常数)，则数列 an一定是等差数列( )题组二 教材改编2P46A 组 T2设数列 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于( )A31B32C33D34答案 B解析 由已知可得Error!解得Error! S88 a1 d32.87233P39T5在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a7450，则 a2 a8_.答案 180解析 由等差数列的性质，得a3 a4 a5 a6 a75 a5450， a590， a2 a82 a5180.题组三 易错自纠4一个等差数列的首项为 ，从第 10 项起开始比 1
6、 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范125围是( )A d B d0， a7 a100，所以 a80.又 a7 a10 a8 a90， S140， S140， a1 a14 a7 a80， a80 时， n 的最小值a9a8为( )A14B15C16D17答案 C解析 数列 an是等差数列，它的前 n 项和 Sn有最小值，公差 d0，首项 a10，a9a8由等差数列的性质知，2a8 a1 a150. Sn ，当 Sn0 时， n 的最小值为 16.na1 an297(2018绍兴教学质量调测)已知数列 an中， a33， an1 an2，则a2 a4_， an_.答案 6 2 n3解析 因
7、为 an1 an2，所以 an为等差数列，所以公差 d2，由 a12 d3 得 a11，所以 an1( n1)22 n3， a2 a42 a36.8在等差数列 an中，若 a7 ，则 sin2a1cos a1sin2 a13cos a13_. 2答案 0解析 根据题意可得 a1 a132 a7，2a12 a134 a72，所以有 sin2a1cos a1sin2 a13cos a13sin2 a1sin(22 a1)cos a1cos( a1)0.9(2018浙江省部分重点中学调研)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S5，则使an0 的最大正整数 n_，满足 SkSk1 0，
8、 a7 S7 S60，则使 an0 的最大正整数n6， S11 11 a60， S12 0， S13 13 a11a1 a112 12a1 a122 12a6 a72 13a1 a1327a2，即 1 d12，解得 d11；又Error!所以Error!解得1 d1d212 d1.因为 S1075，所以 51 d152 d275，所以 d1 d26，所以542 54212d26 d1，所以1 d16 d112 d1，解得 d1 .又 d1， d2为整数，所以 d13，所以73 72d23.所以 a82(41) d223311.16记 m ，若 是等差数列，则称 m 为数列 an的“ dn等差均
9、值” ；d1a1 d2a2 dnann dn若 是等比数列，则称 m 为数列 an的“ dn等比均值” 已知数列 an的“2 n1 等差均值”dn为 2，数列 bn的“3 n1 等比均值”为 3.记 cn klog3bn，数列 的前 n 项和为 Sn，2an cn若对任意的正整数 n 都有 Sn S6，求实数 k 的取值范围解 由题意得 2 ，a1 3a2 2n 1ann所以 a13 a2(2 n1) an2 n，所以 a13 a2(2 n3) an12 n2( n2， nN *)，两式相减得 an (n2， nN *)22n 1当 n1 时， a12，符合上式，所以 an (nN *)22n 1又由题意得 3 ，b1 3b2 3n 1bnn所以 b13 b23 n1 bn3 n，所以 b13 b23 n2 bn1 3 n3( n2， nN *)，两式相减得 bn3 2 n(n2， nN *)当 n1 时， b13，符合上式，所以 bn3 2 n(nN *)所以 cn(2 k)n2 k1.因为对任意的正整数 n 都有 Sn S6，所以Error! 解得 k .135 11413
