1、- 1 -3 条件概率与独立事件A 组1.设 A 与 B 是相互独立事件,则下列命题正确的是( )A.A 与 B 是对立事件B.A 与 B 是互斥事件C. 不相互独立D.A 与 是相互独立事件解析:若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 也是相互独立事件 .答案:D2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 .假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( )A. B. C. D.解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 .因此,他们不去北京旅游的概率分别为,所以 ,至少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1- .答案:B3.如图,
2、用 K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统 .当 K 正常工作且 A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作 .已知 K,A1,A2正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576解析:方法一 由题意知 K,A1,A2正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,K ,A1,A2相互独立,A 1,A2至少有一个正常工作的概率为 P( A2)+P(A1 )+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96. 系统正常工作的概率为 P(K
3、)P( A2)+P(A1 )+P(A1A2)=0.90.96=0.864.- 2 -方法二 A1,A2至少有一个正常工作的概率为 1-P( )=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统正常工作的概率为 P(K)1-P( )=0.90.96=0.864.答案:B4.已知 A,B,C 是三个相互独立事件,若事件 A 发生的概率为 ,事件 B 发生的概率为 ,事件 C 发生的概率为 ,则 A,B,C 均未发生的概率为 . 解析: A,B,C 均未发生的概率为 P( )= .答案:5.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是
4、,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是 ,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为 . 解析:同命中红色区域的概率为 ,同命中黄色区域的概率为 ,同命中蓝色区域的概率为 , 二人命中同色区域的概率为 .答案:6.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响 .(1)求该选手顺利通过三轮考核的概率;- 3 -(2)该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?解(1)设“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件记为 Ai(i=1,2,3),
5、且它们相互独立 .则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,设“该选手顺利通过三轮考核”为 A 事件,则 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)= .(2)因为回答 2 个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是 P= .7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响 .已知学生小张只选甲的概率为 0.08,只选甲和乙的概率为 0.12,至少选一门的概率为 0.88,用 表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 .(1)求学生小张选修甲的概率;(2)记“函数 f(x)=x2+x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率;(
6、3)求 的分布列 .解(1)由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为 1-0.88=0.12.设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为 x,y,z.则 解得所以学生小张选修甲的概率为 0.4.(2)若函数 f(x)=x2+x 为 R 上的偶函数,则 = 0,当 = 0 时,表示小张选修了三门功课或三门功课都不选 .所以 P(A)=P(= 0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.40.60.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,故事件 A 的概率为 0.24.(3)依题意知 = 0,2,所以 的分布列为 0 2P 0.24 0.768.导学号 43944
7、034 甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛 .假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立 .(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布 .- 4 -解用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”, Ak表示“第 k 局甲获胜”, Bk表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P
8、(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)= .(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= ,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= ,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= ,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .所以 X 的分布列为X 2 3 4 5PB 组1.如图所示,在两
9、个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. B. C. D.- 5 -解析:设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”, P(A)= ,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”, P(B)= .则 P(AB)=P(A)P(B)= .答案:A2.一个盒子中有 20 个大小、形状、质地相同的小球,其中 5 个红的,5 个黄的,10 个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是( )A. B. C. D.解析:记 A:取的球不是红球 .B:取的球是绿球 .则 P(A)= ,P(AB)= ,P (B|A)=.答案:C
10、3.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率是( )A. B. C. D.解析:设事件 A 发生的概率为 x,事件 B 发生的概率为 y,则由题意得(1 -x)(1-y)= ,x(1-y)=(1-x)y,联立解得 x= ,故事件 A 发生的概率为 .答案:D4.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件 A=第一次出现正面,事件 B=第二次出现正面,则 P(B|A)= ( )A. B. C. D.- 6 -解析: P(A)= ,P(AB)= ,所以 P(B|A)= .故选 A.答案:A5.箱子里有除颜色外都
11、相同的 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的概率为( )A. B.C. D.解析:因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是 ,在第 4 次取球后停止表示前 3 次取出的都是黑球,第 4 次才取出白球,故所求概率为 .答案:B6.某种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.6,使用寿命超过 2 年的概率为 0.3,则使用寿命超过 1 年的该元件还能继续使用 1 年的概率为 . 解析:设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”, B 为“该元件的使用寿命超过 2 年”,则
12、P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知 P(AB)=P(B)=0.3,于是 P(B|A)= =0.5.答案:0 .57.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险的概率为 0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立 .(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中 1 种的概率 .解记 A 表示事件“购买甲种保险”, B 表示事件“购买乙种保险”,则由题意得 A 与 B,A 与与 B, 都是相互独立事件,且 P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记 C 表示事件“同时购
13、买甲、乙两种保险”,则 C=AB.P (C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.- 7 -(2)记 D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则 D= B.P (D)=P( B)=P( )P(B)=(1-0.5)0.6=0.3.(3)方法一:记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件 E 包括B,A ,AB,且它们彼此为互斥事件 .P (E)=P( B+A +AB)=P( B)+P(A )+P(AB)=0.50.6+0.50.4+0.50.6=0.8.方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件 .P (E)=1
14、-P( )=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.8.导学号 43944035 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立 .(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的分布列 .解记 Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, i=0,1,2.B 表示事件:甲需使用设备 .C 表示事件:丁需使用设备 .D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备 .(1)D=A1BC+A2 C+A2B.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)= 0.5
15、2,i=0,1,2,所以 P(D)=P(A1BC+A2B+A2 C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2 C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( )P(C)=0.31.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,P(X=0)=P( A0 )=P( )P(A0)P( )=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06.- 8 -P(X=1)=P(BA0 A0C+ A1 )=P(B)P(A0)P( )+P( )P(A0)P(C)+P( )P(A1)P( )=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25.P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25.P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06
