1、- 1 -第二章 概率测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.若随机变量 的分布列如下表所示,则 p1=( ) -1 2 4P p1A.0 B. C. D.1解析:由分布列性质 pi=1,n=1,2,3,n,得 +p1=1.所以 p1= .答案:B2.已知事件 A,B发生的概率都大于零,则( )A.如果 A,B是互斥事件,那么 A与 也是互斥事件B.如果 A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件C.如果 A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件D.如果 A B是必然事件,那么它们一定是对立事件解析:对 A,若 A,B
2、互斥,则 A与 不互斥;对 B,若 A,B不相互独立,则它们可能互斥,也可能不互斥;对 C,是正确的 .对 D,当 A B是必然事件, A B是不可能事件时, A,B才是对立事件 .答案:C3.(2016山东青岛教学质量调研)某校高考的数学成绩近似服从正态分布 N(100,100),则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )A.22.8% B.45.6%C.95.4% D.97.22%解析:设该校高考数学成绩为 X,由 XN(100,100)知,正态分布的两个参数为 = 100,= 10,所以 P(80D 2B.D 1=D 2C.D 1D 2.答案:A12.(2016
3、甘肃天水一中高二段考)一袋中有大小、形状、质地相同的 4个红球和 2个白球,给出下列结论:- 4 - 从中任取 3球,恰有一个白球的概率是 ; 从中有放回的取球 6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为 ; 现从中不放回的取球 2次,每次任取 1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为 ; 从中有放回的取球 3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为 .其中所有正确的结论是( )A. B.C. D.解析: 恰有一个白球的概率 P= ,故 正确; 每次任取一球,取到红球次数 XB ,其方差为 6 ,故 正确; 设 A=第一次取到红球, B=第二次取到红球,则 P(A)= ,P
4、(AB)= ,所以 P(B|A)= ,故 错; 每次取到红球的概率 P= ,所以至少有一次取到红球的概率为 1- ,故 正确 .答案:A二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.(2016湖北省孝感高中高二上学期期中考试)已知离散型随机变量 X的分布列为:X 0 1 2P 0.5 1-2q q2则常数 q= . - 5 -解析:由离散型随机变量的分布列意义得 得 q=1- .答案:1 -14.在等差数列 an中, a4=2,a7=-4.现从 an的前 10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取 3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数
5、和一个负数的概率为 (用数字作答) . 解析:由 a4=2,a7=-4可得等差数列 an的通项公式为 an=10-2n(n=1,2,10).由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为 ,取得负数的概率为 ,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 .答案:15.某射手射击所得环数 的分布列如下: 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知 的期望 E= 8.9,则 y的值为 . 解析:依题意得即 解得答案:0 .416.甲、乙两人进行一场比赛,已知甲在一局中获胜的概率为 0.6,无平局,比赛有 3种方案: 比赛 3局,先胜 2局者为胜者; 比赛 5局
6、,先胜 3局者为胜者; 比赛 7局,先胜 4局者为胜者 .则方案 对乙最有利 . 解析:设三种方案中乙获胜的概率分别为 P1,P2,P3,每种方案都可以看成独立重复试验,则P1= 0.42+ 0.60.42=0.352,P2= 0.43+ 0.60.43+ 0.620.430.317,- 6 -P3= 0.44+ 0.440.6+ 0.440.62+ 0.440.630.290 .由于 P1P2P3,所以方案 对乙最有利 .答案: 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分)17.(本小题满分 10分)一盒中装有 9张各写有一个数字的卡片,其中 4张卡片上的数字是 1,3张卡片上的数字是 2,2
7、张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3张卡片 .(1)求所取 3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取 3张卡片上的数字的中位数,求 X的分布列与均值 .(注:若三个数 a,b,c满足 a b c,则称 b为这三个数的中位数 .)解(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P= .(2)X的所有可能值为 1,2,3,且P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,故 X的分布列为X 1 2 3P从而 EX=1 +2 +3 .18.(本小题满分 12分)某高校设计了某实验学科的考核方案:考生从 6道备选题中一次性随机抽取 3题,按照题目要求独立完成全部实验操作 .规定:至少正确
8、完成其中 2题才可提交通过 .已知 6道备选题中,考生甲有 4道题能正确完成,2 道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响 .(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2道题的概率分析比较两位考生的实验操作能力 .- 7 -解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 , ,则 的所有可能取值为1,2,3, 的所有可能取值为 0,1,2,3.P (= 1)= ,P(= 2)= ,P(= 3)= , 考生甲正确完成题数的概率分布列为 1 2 3PE= 1 +2 +3 =2.P
9、 (= 0)= ,P(= 1)= ,P(= 2)= ,P(= 3)= , 考生乙正确完成题数的分布列为 0 1 2 3PE= 0 +1 +2 +3 =2.(2)P ( 2) = =0.8,P( 2) = 0 .74,P ( 2) P( 2) .- 8 -从做对题数的数学期望考核,两人水平相当;从至少正确完成 2道题的概率考核,甲获得通过的可能性大 .因此可以判断甲的实验操作能力较强 .19.(本小题满分 12分)某班从 6名班干部(其中男生 4人,女生 2人)中,任选 3人参加学校的义务劳动 .(1)设所选 3人中女生人数为 X,求 X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设“男
10、生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B)和 P(A|B).解(1) X的所有可能取值为 0,1,2,依题意得P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= .X 的分布列为X 0 1 2P(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件 C,则 P(C)= , 所求概率为 P( )=1-P(C)=1- .(3)由题意得 P(B)= ,又 P (AB)= ,P (A|B)= .20.导学号 43944048(本小题满分 12分)某球类总决赛采取 7局 4胜制,预计本次比赛两队的实力相当 ,每场比赛组织者可获利 200万元 .(1)求组织者在本次比赛中获利不低于 1 200万
11、元的概率;(2)组织者在本次比赛中获利的期望为多少万元?解设本次比赛组织者获利为 X万元,当 X=800时,这两队只进行四场比赛,两队有一队全胜, P(X=800)=2 =0.125;当 X=1 000时,这两队进行五场比赛,两队中有一队前四场比赛是胜三场,败一场,第五场胜,- 9 -P(X=1 000)=2 =0.25;当 X=1 200时,这两队进行六场比赛,P(X=1 200)=2 =0.312 5;当 X=1 400时,这两队比赛满七场,P(X=1 400)=2 =0.312 5.所以 X的分布列为X 800 1 000 1 200 1 400P 0.125 0.25 0.312 5
12、0.312 5(1)组织者在本次比赛中获利不低于 1 200万元的概率是 0.312 52=0.625.(2)EX=8000.125+1 0000.25+1 2000.312 5+1 4000.312 5=1 162.5.故组织者在本次比赛中获利的期望为 1 162.5万元 .21.导学号 43944049(本小题满分 12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示 .将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立 .(1)求在未来连续 3天里,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另 1天的日销售量低于 50个的概率;(2)用 X表示
13、在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数,求随机变量 X的分布列,均值 EX及方差 DX.解(1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100个”, A2表示事件“日销售量低于 50个”, B表示事件“在未来连续 3天里,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另 1天的日销售量低于50个”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)= (1-0.6)3=0.064,- 10 -P(X=1)= 0.6(1-0.6)2=0
14、.288,P(X=2)= 0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)= 0.63=0.216.分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为 XB(3,0.6),所以 EX=30.6=1.8,方差 DX=30.6(1-0.6)=0.72.22.导学号 43944050(本小题满分 12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B两种奶制品,生产 1吨 A产品需鲜牛奶 2吨,使用设备 1小时,获利 1 000元;生产 1吨 B产品需鲜牛奶 1.5吨,使用设备 1.5小时,获利 1 200元,要求每天 B产品的产量不超过 A产品产量的 2倍,设备每天生产 A,B
15、两种产品时间之和不超过 12小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随机变量 .(1)求 Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3天中至少有 1天的最大获利超过 10 000元的概率 .解(1)设每天 A,B两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z,则有目标函数为 z=1 000x+1 200y.当 W=12时, 表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C
16、(6,0).将 z=1 000x+1 200y变形为 y=- x+ ,当 x=2.4,y=4.8时,直线 l:y=- x+ 在 y轴上的截距最大 ,最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160.当 W=15时, 表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).- 11 -图 1图 2将 z=1 000x+1 200y变形为 y=- x+ ,当 x=3,y=6时,直线 l:y=- x+ 在 y轴上的截距最大 ,最大获利 Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当 W=18时, 表示的平面区域如图 3.图 3四个顶点分别
17、为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将 z=1 000x+1 200y变形为 y=- x+ ,当 x=6,y=4时,直线 l:y=- x+ 在 y轴上的截距最大 ,最大获利 Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利 Z的分布列为Z 8 160 10 200 10 800P 0.3 0.5 0.2因此, EZ=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000元的概率 p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,得 3天中至少有 1天最大获利超过 10 000元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.- 12 -
