1、- 1 -凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算即可【详解】B=x|2x1，A=2，1，0，1，2；AB=1，0故选：B【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算2.“ ”是“函数 在区间 内单调递减 ”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件【答案】A
2、【解析】【分析】利用二次函数的单调性可得 a 的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出【详解】函数 f（x）=x 22ax2=（xa） 2a 22 在区间（，2内单调递减，2a“a3”是“函数 f（x）=x 22ax2 在区间（，2内单调递减”的充分非必要条件故选：A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于- 2 -条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是
3、 的充要条件3.下列说法中正确的是（ ）A. “ ” 是“函数 是奇函数”的充要条件B. 若 ： ， ，则 ： ，C. 若 为假命题，则 均为假命题D. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”【答案】D【解析】试题分析：对于 A 中，如函数 是奇函数，但 ，所以不正确；B 中，命题，则 ，所以不正确；C 中，若 为假命题，则 ，应至少有一个假命题，所以不正确；D 中，命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”是正确的，故选 D考点：命题的真假判定4.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组 ，求出解集即可【
4、详解】函数 ， ，解得 ，即 x1，f（x）的定义域为x|x1故选：C- 3 -【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)y x0的定义域是 x|x0(5)y ax(a0 且 a1)， ysin x， ycos x 的定义域均为 R.(6)ylog ax(a0 且 a1)的定义域为(0，)5.二项式 的展开式中 的系数为 ，则 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的展开式可得 a，再利用微积分基本定理即可得出【详解】二项式（ax+ ） 6的展
5、开式中通项公式：T r+1= （ax） r，令 r=5，则 T6= a5x5x 5的系数为 ， a5= ，解得 a=1则 x2dx= x2dx= = 故选：A【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6.已知 是周期为 4 的偶函数，当 时 ，则（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】- 4 -【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可【详解】f（x）是周期为 4 的偶函数，当 x0，
6、2时 f（x）= ，则 f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（20161）=f（2）+f（1）=log 22+1+12=3故选：D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】作出三棱锥 PABC 的直观图如图所示，过 A 作 AD BC，垂足为 D，连结 PD.由三视图可知 PA平面 ABC，BD=AD=1,CD=PA=2, . ，- 5 -.三棱锥 PABC 的四个面中，侧面 PBC 的面积最大 .故选 C.点睛：思考三视图还原空间几何体首
7、先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8.PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） ，为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表：时间 周一 周二 周三 周四 周五车流量 （万辆） 100 102 108 114 116浓度 （微克） 78 80 84 88 90根据上表数据，用最小二乘法求出 与 的线性回归方程是（ ）参考
8、公式： ， ；参考数据： ， ；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果【详解】由题意，b= =0.72，a=840.72108=6.24， =0.72x+6.24，- 6 -故选：B【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.9. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和
9、1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72 B. 120 C. 144 D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共 种，第二类是歌舞类用三个隔开共 种，所以 N= + =120.种。选 B.【此处有视频，请去附件查看】10.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点是曲线 与 的一个公共点， ， 分别是 和 的离心率，若 ，则 的最小值为( )A. B. 4 C. D. 9【答案】A【解析】【分析】题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a12+a22=2c2，由此能
10、求出 4e12+e22的最小值【详解】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴为 2a2，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|PF 2|=2a2，- 7 -由椭圆定义|PF 1|+|PF2|=2a1，又PF 1PF 2，|PF 1|2+|PF2|2=4c2， 2+ 2，得|PF 1|2+|PF2|2=4a12+4a22，将代入，得 a12+a22=2c2，4e 12+e22= = + + +2= 故选：A【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量
11、的各项均相等，取得最值.11.设函数 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】f（x）= （x 2+1）+ =f（x） ，f（x）为 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，再通过换元法解题【详解】f（x）= （x 2+1）+ =f（x） ，f（x）为 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，令 t=log2x，所以， =t，则不等式 f（log 2x）+f（ ）2 可化为：f（t）+f（t）2，即 2f（t）2，所以，f（t）1，又f（1）= 2+ =1，且 f（x）在0，+）上单调递减，在 R 上为偶函数，- 8 -1t1，即 log2x1，1，
12、解得，x ，2，故选：B【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题12.已知 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，均有 .当时， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 f（x）=1f（1x） ，得 f（1）=1，确定 f（ ）= ，利用 f（x）是奇函数，即可得出结论【详解】由 f（x）=1f（1x） ，得 f（1）=1，令 x= ，则 f（ ）= ，当 x0，1时，2f（ ）=f（x） ，f（ ）= f（x） ，即 f（ ）= f（1）= ，f（ ）= f（ ）=14，f（ ）= f（ ）=14， ，对任意的 x1，x 2
13、1，1，均有（x 2x 1） （f（x 2）f（x 1） ）0f（ ）= ，同理 f（ ）=f（ ）=f（ ）= - 9 -f（x）是奇函数，f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ）=f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ）= ，故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若幂函数 的图像过点 ，则 的值为_.【答案】【解析】【分析】将点代入解析式，求出 a，再求 f（4）即可【详解】由题意 f（2）= ，所以 a= ，所以 f（x）= ，所以 f（4）=故答案为：【点睛】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属
14、基本运算的考查14.在 中， ， ， ，则 的面积等于 _.【答案】【解析】【分析】通过余弦定理求出 AB 的长，然后利用三角形的面积公式求解即可【详解】设 AB=c，在ABC 中，由余弦定理知 AC2=AB2+BC22ABBCcosB，即 7=c2+422ccos60，c 22c3=0，又 c0，c=3SABC = ABBCsinB= BCh，可知 SABC = 32 = 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题- 10 -15.若关于 的不等式 （ ，且 ）的解集是 ，则 的取值的集合是_【答案】【解析】【分析】由题意可得当 x= 时，4 x
15、=log2ax，由此求得 a 的值【详解】关于 x 的不等式 4xlog 2ax（a0，且 a ）的解集是x|0x ，则当 x= 时，4 x =log2ax，即 2=log 2a ，（2a） 2= ，2a= ，a= ，故答案为： 【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题16.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为_.【答案】 .【解析】【分析】作出函数 f（x）的图象，设 f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于 t 的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可【详解】作出函数 f（x）的图象如图：- 11 -设 f（a
16、）=f（b）=t，则 0t ，ab，a1，b1，则 f（a）=e a=t，f（b）=2b1=t，则 a=lnt，b= （t+1） ，则 a2b=lntt1，设 g（t）=lntt1，0t ，函数的导数 g（t）= 1= ，则当 0t 时 g（t）0，此时函数 g（t）为增函数，g（t）g（ ）=ln 1= 2，即实数 a2b 的取值范围为（， 2，故答案为：（， 2【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于 t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键综合性较强- 12 -三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、.17.已知函数 ，函数 ，记集合 .（I）求集合 ； （II）当 时，求函数 的值域.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（）由 g（x）0 得 42x52 2x+1+160，然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；（）化简函数 f（x） ，然后利用换元法求解即可得答案【详解】解：（I） 即 ， ，令 ，即有得 ， ， ，解得 ；（II） ，令则 ，二次函数的对称轴 ， 【点睛】本题考查了指、对数不等式的解法，考查了会用换元法解决数学问题，属于中档题18.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： ， ，（I）从中任意拿取 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下
18、，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望.【答案】 （1） （2）数学期望为 . 【解析】【分析】（）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡- 13 -片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为 ，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为 ，由此能求出结果（） 可取 1，2，3，4分别求出对应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望【详解】解：() 为
19、奇函数； 为偶函数； 为偶函数； 为奇函数; 为偶函数； 为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为 ，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为 ，故所求概率 .() 可取 ； ; ； 故 的分布列为.的数学期望为 .【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关
20、；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点将 沿 折起，- 14 -使得平面 平面 （I）求证： ；（II）若点 是线段 上的一动点，当二面角 的余弦值为 时，求线段 的长【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（I）推导出 AMBM，从而 BM平面 ADM，由此能证明 ADBM（II）以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 作 OA 的垂线为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段 DE 的长【详解】 （I）证明：长方形 中， ，为 的中点， ，故 . （II）建立如图所示的 直角坐标系，则平面
21、 的一个法向量 ，设 ，设平面 AME 的一个法向量为 取 ，得 得 ，而- 15 -则 ，得 ，解得因为 ，故 .【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，直线 经过椭圆的右焦点与椭圆交于 两点，且 .（I）求直线 的方程；（II）已知过右焦点 的动直线 与椭圆 交于 不同两点，是否存在 轴上一定点 ，使？（ 为坐标原
22、点）若存在，求出点 的坐标；若不存在说明理由.【答案】 （1） 或 ；（2）【解析】【分析】（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出解法二：利用焦半径公式可得（II） II）设 l2的方程为 与椭圆联立： 假设存在点T（t，0）符合要求，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） OTP=OTQ，再利用根与系数的关系即可得出【详解】解：（I）设 的方程为 与椭圆联立得直线经过椭圆内一点，故 恒成立，设 ，则 ，- 16 -解得 ， 的方程为 或 ；解 2：由焦半径公式有 ，解得 .（II）设 的方程为 与椭圆联立： ，由于过椭圆内一点，假设存在点 符合要
23、求，设 ，韦达定理：，点在直线 上有，即 ， ，解得 .【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法” 其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在21.设函数 ， ，(其中 ).（1） 时,求函数 的极值; （2）证：存在 ，使得 在 内恒成立，且方程 在 内有唯一解.【答案】(1) ； ;(2)见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；- 17 -（
24、）求出 f（x）的导数，通过讨论 m 的范围，求出 f（x）的单调区间，求出满足条件的m 的范围，从而证出结论即可【详解】解：（I）当 时, , 令 ,得 , ,当 变化时, 的变化如下表 :极大值 极小值由表可知, ； ；（II）设 ， ， ，若 要有解，需 有单减区间，则要有解，由 ， ，记 为函数 的导数则 ，当 时 单增，令 ，由 ，得 ，需考察 与区间 的关系：当 时， ， ，在 上 ， 单增，故 单增， ， 无解；当 ，时， ， ，因为 单增，在 上 ，在 上当 时， （i）若 ，即 时， ， 单增， ， 无解；（ii）若 ，即 ， ，在 上， ， 单减；， ， 在区间 上有唯一解
25、，记为 ；在 上，单增 ， ，当 时 ，故 在区间 上有唯一解，- 18 -记为 ，则在 上 ，在 上 ，在 上 ，当 时， 取得最小值 ，此时若要 恒成立且 有唯一解，当且仅当 ，即 ，由 有联立两式 解得 .综上，当 时，【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、函数恒成立问题，是一道综合题22.已知直线 的方程为 ，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系（I）求直线 与圆 的交点的极坐标；（II）若 为圆 上的动点，求 到直线 的距离 的最大值【答案】 （1） , .（2）【解析】【分析】（I）由圆 C 的参数方程为
26、（ 为参数） ，利用 cos2+sin 2=1 化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用 可得极坐标（II）圆心（0，2）到直线 l 的距离为 d1，可得 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 d1+r【详解】解：（I）直线 : ,圆 :联立方程组 ,解得 或对应的极坐标分别为 , . （II）设 ,则 ,当 时, 取得最大值 .【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题- 19 -23.已知函数 ，不等式 的解集为 .（I）求实数 m 的值；（II）若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】 （1）3（2） 或【解析】【分析】（I）问题转化为 5mxm+1，从而得到 5m=2 且 m+1=4，基础即可；（II）问题转化为|xa|+|x3|3 恒成立，根据绝对值的意义解出 a 的范围即可【详解】解：（I）由已知得 ，得 ，即 （II） 得 恒成立（当且仅当 时取到等号）解得 或 ，故 的取值范围为 或【点睛】恒成立问题的解决方法:(1)f(x)m 恒成立，须有f(x) minm；(3)不等式的解集为 R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解- 20 -
