1、第6讲 一元二次方程及其应用,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,一元二次方程的有关概念 一元二次方程的概念必须满足三个条件:是整式方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是2. 例1下列方程一定是一元二次方程的是( ) A.3x2+4- =0 B.5x2-6y-3=0 C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0 答案:D 方法点拨解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义,特别是二次项系数应为非零数,即a0这一隐含条件.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,一元二次方程的解法 一元二次方程的基本解法有四种:(1)直接开方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.在
2、解一元二次方程时首先看是否能运用直接开平方法,再看能否运用因式分解法,公式法适用于所有的一元二次方程的求解.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例2解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0. 分析:本题可以采用因式分解法或公式法解. 解法一把方程左边因式分解,得(x-3)(x-3+4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0,解法二原方程整理,得5x2-18x+9=0. =(-18)2-459=1440,方法点拨此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择,常常涉及配方法、公式法、因式分解法.选择解法时要根据方程的结构特点、系数(或常数)之间的关系灵活进行,解题时要讲究技巧,保证准确、迅速.
3、,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,一元二次方程根的判别式的应用 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式为=b2-4ac,其意义在于不解方程可以直接根据判别根的情况,(1)当0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当0时,方程无实数根.还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例3(2018内蒙古包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案:B 解析:a=1,b=2,c
4、=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根, =b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m0,m3. m为正整数,m=1,2或3. 又当m=1时,=8该方程的根不是整数,m1. m=2或3.2+3=5.故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,方法点拨一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:(1)不解方程,判定根的情况;(2)根据方程根的情况,确定方程系数中字母的取值范围;(3)应用判别式证明方程根的情况.本题根据方程的系数结合根的判别式0,得出m3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,求出m的值,将其相加即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,一元
5、二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系的应用:(1)已知一根,求另一根及求未知系数;(2)不解方程,求与方程两根有关的代数式的值;(3)已知两数,求以这两数为根的方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例4(2018江苏泰州)已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,则下列结论一定正确的是( ) A.x1x2 B.x1+x20 C.x1x20 D.x10, x1x2,结论A正确; x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根, x1+x2=a, a的值不确定,结论B不一定正确; x1,x2是关于x的方程
6、x2-ax-2=0的两根, x1x2=-2,结论C错误; x1x2=-2, x1,x2异号,结论D错误.故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,方法点拨一元二次方程根与系数的关系包含=b2-4ac和x1+x2=-,字母的值或取值范围时,必须要考虑:(1)a0,(2)b2-4ac0.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求题中的等量关系,从而建立方程.增长率问题和利润问题是最常见的类型.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例5(2018江苏盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈
7、利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元? 分析:(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出23=6(件),即平均每天销售数量为20+6=26(件); (2)利用商品平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种商品利润,列出方程解答即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+23=26(
8、件),故答案为26. (2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理,得x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20. 要求每件盈利不少于25元,x2=20应舍去, 解得x=10. 答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元. 方法点拨此题是利润问题,列方程的等量关系是:总利润等于每一件商品的利润乘以销售件数,根据等量关系列方程,解方程.最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际要求,不符合的要舍去.,1.(2018甘肃)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是( C
9、 ) A.k-4 B.k-4 C.k4 D.k42.(2017甘肃兰州)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为 ( C ),解析:根据题意得=42-4k0,解得k4.故选C.,3.(2016甘肃兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m,则可列方程为( C ) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0,4.(2017甘肃白银)
10、如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是( A ) A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+220x=3232-570 C.(32-x)(20-x)=3220-570 D.32x+220x-2x2=570,5.(2017甘肃兰州)王叔叔从市场上买了一块长为80 cm,宽为70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方形工具箱,根据题
11、意列方程为( C )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000,6.(2015甘肃兰州)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是( B ),7.(2016甘肃兰州)一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是( B ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根
12、 D.没有实数根 8.(2016甘肃平凉)三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13x+40=0的根,则该三角形的周长为12 .,9.(2017甘肃武威)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k5且k1 .,解析:关于x的一元二次方程方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,解得k5且k1.,10.(2016甘肃兰州)解方程2y2+4y=y+2. 解:2y2+4y=y+2,2y2+3y-2=0, (2y-1)(y+2)=0,2y-1=0或y+2=0, 所以y1= ,y2=-2.,11.(2016甘肃定西)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m的值; (2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. (1)解:根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0, 解得m= . (2)证明:=m2-41(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40, 不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.,
