1、1*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系知能演练提升能力提升1.(2017四川绵阳中考)若关于 x 的方程 2x2+mx+n=0 的两个根是 -2 和 1,则 nm的值为( )A.-8 B.8 C.16 D.-162.(2017山东烟台中考)若 x1,x2是方程 x2-2mx+m2-m-1=0 的两个根,且 x1+x2=1-x1x2,则 m 的值为( )A.-1 或 2 B.1 或 -2C.-2 D.13.(2017湖北仙桃中考)若 , 为方程 2x2-5x-1=0 的两个实数根,则 2 2+3+ 5 的值为( )A.-13 B.12 C.14 D.154.已知关于 x 的方程 x2-(
2、a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:x 1 x2;x 1x20,则 成立;x 1x2=ab-1,x1+x2=a+b,x 1x2=ab-1a2+b2,故 不成立 .x21+x225.-1 由根与系数的关系,得 k2=1,解得 k=1.当 k=1 时,原方程变为 x2-x+1=0,这个方程没有实数根 .因此 k=1 应舍去 .当 k=-1 时,原方程变为 x2-3x+1=0,这个方程有实数根 .综上, k=-1.6.-1 由 x1,x2是方程 x2+3x+1=0 的两实数根,可知 x1+x2=-3, +3x1+1=0,即 =-3x1-1.x21 x21因此 +
3、8x2+20x31= x1+8x2+20x21=(-3x1-1)x1+8x2+20=-3 -x1+8x2+20x21=9x1+3-x1+8x2+20=8x1+8x2+23=-24+23=-1.7.解 (1)关于 x 的方程 x2+(2k-1)x+k2-1=0 有两个实数根 x1,x2,= (2k-1)2-4(k2-1)=-4k+50,解得 k ,实数 k 的取值范围为 k .54 54(2)关于 x 的方程 x2+(2k-1)x+k2-1=0 有两个实数根 x1,x2,x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1. =(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2, (1-2k)2-2(k2-1)=
4、16+(k2-1),即 k2-4k-12=0,解得 k=-2 或x21+x22k=6(不符合题意,舍去) .故实数 k 的值为 -2.8.解 当 x1 x2时, x1,x2是方程 x2-3x+1=0 的两根,有 x1+x2=3,x1x2=1.4故 =7.x2x1+x1x2=x22+x21x1x2 =(x2+x1)2-2x1x2x1x2 =32-211当 x1=x2时,原式 =1+1=2.综上,原式的值是 7 或 2.创新应用9.分析 将直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本变形以及一元二次方程根与系数的关系结合起来求解 .解 因为 OA,OB 的长是方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0 的两个实数根,所以 OA+OB=1-2m, OAOB=m2+3.在菱形 ABCD 中,OA2+OB2=AB2,(OA+OB)2-2OAOB=AB2,即(1 -2m)2-2(m2+3)=25,化简得 m2-2m-15=0.解得 m1=5,m2=-3.而方程有两实数根,则 b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)0 .从而可知 m - .114因此 m=5 不合题意,舍去 .故 m=-3.
