1、1专题 06 指数函数考点 29 根式的化简运算考点 30 根式与分数指数幂的互化考点 31 指数幂的运算考点 32 指数函数考点 33 指数函数定义域和特殊点考点 34 指数函数单调性与值域考点 35 指数函数的图象变换考点 36 指数函数综合题考点 37 指数式与对数式的互化考点 29 根式的化简运算要点阐述根式（1）定义：如果 nxa，那么 x 称为 a 的 n 次方根.（2）两个重要公式： ,n为 奇 数， 为 偶 数 na)(a. 典型例题【例】计算： .3 22 3 1 2 3 4 1 2 4【解析】32 ( )22 1( 1) 2，2 2 2 2原式 1 2 2 3 1 2 3
2、4 1 2 4|1 |(1 )|1 |2 2 22 11 1 12 2 2 2小试牛刀1 （ a4） 0有意义，则 a 的取值范围是4a-2A a2 B2 a4C a2 D a4252 的平方根是6A B 3 2 3 2C D ， 2 3 3 2 2 3【答案】D【解析】 5 2 （ ） 2， 从 而 5 2 的 平 方 根 是 和 ， 从 而 选 D 项 6 3 2 6 3 2 2 33下列各式正确的是A 3 B a （ 3） 2 4a4C 2 D 222 3 （ 2） 3【答案】C【解析】由于 3， | a|， 2，故 A、 B、 D 错误，故选 C （ 3） 2 4a4 3 （ 2） 3
3、【易错易混】解题时注意符号4下列式子中成立的是A a B a a a3 a a3C a D a a a3 a a3【答案】C【解析】要使 a 有意义，则 a0， a故 a （ a） ，故选 C a a （ a） 2（ a） a35 的值是 （ a b） 2 5 （ a b） 5A0 B2（ a b）3C0 或 2（ a b） D a b【答案】C【解析】分类讨论，当 a b0 时，原式（ a b）（ a b）2（ a b） ；当 a b0， y0 B x0， y0 D x0， y0 B x0， y0 D x1 D x R，且 x1【答案】D【解析】 （| x|1） ，| x|10， 13|x|
4、 1即 x1 x 的取值范围是 x R，且 x12用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数） （1） 32ab；（2） 324ab（ +） 【答案】 （1）13（ ）；（2）132（ ）【解析】 （1） 3 3abab（ ） （2）2123442（ +） （ ） （ +）3已知 0b0，求 的值a ba b【答案】 55【解析】 （1） a， b 是方程 x26 x40 的两实数根，Error! ab0， a b则 2 (a ba b) a b 2 aba b 2 ab 6 2 46 2 4 210 15 a ba b 15 559数学文化幂的玄机有一天，一个叫杰米的百万富翁，碰上一件很
5、奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月每天给你 10 万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍 ”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头这其中的奥妙玄机在哪呢？10考点 31 指数幂的运算要点阐述指数幂的运算性质（1） aA； （2） ()a； （3） ()ab； 典型例题【例】若 a1， b0， ab ab2 ，则 ab ab等于2A B2 或26C2 D2【答案】D【方法技巧】平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系
6、，变形求解即可小试牛刀1下列各式运算错误的是A （ a2b） 2（ ab2） 3 a7b8B （ a2b3） 3（ ab2） 3 a3b3C （ a3） 2（ b2） 3 a6b6D（ a3） 2（ b2） 33 a18b18【答案】C【解析】对于 A， （ a2b） 2（ ab2） 3 a4b2（ a3b6） a7b8，故 A 正确；对于 B，（ a2b3） 3（ ab2） 3 a6b9（ a3b6） a63 b96 a3b3，故 B 正确；对于 C， （ a3） 2（ b2）3 a6（ b6） a6b6，故 C 错误；对于 D，易知正确，故选 C112下列各式中正确的个数是（1） （ ）
7、n a（ n 是奇数且 n1， a 是实数） ；nan na（2） （ ） n a（ n 是正偶数， a 是实数） ；nan na（3） a b（ a， b 是实数） 3a3 b2A0 B1C2 D3【易错易混】对指数幂的运算，要分清开方、乘方等的运算顺序，用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式3计算（2 a3 b ）（3 a1 b）（4 a4 b ）得23 53A b2 B b2 C b D b32 32 3273 3273 【答案】A【解析】原式 b2 6a 4b13 4a 4b 53 32【解题技巧】指数幂运算的一般原则（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算（2）先乘除后
8、加减，负指数幂化成正指数幂的倒数（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答4 （ ） 0的值是614 3338 40.062 5 3 A0 B12C1 D32【答案】B12【解析】原式 051 52 32 125计算 025 05 的值为(127) 13 416A7 B3C7 或 3 D5【答案】B【解析】025 05 (127) 13 416 2 3 2323(12) ( 12) (13) ( 13) 4246完成下列式子的化简：（1） （ a2 b3 ）（4 a1 b）
9、（12 a4 b2 c） ；（2）2 4 3 3a 6ab b3考题速递1计算 + + ，结果是A1 B2C D【答案】B【解析】原式= + + 1= + +11=2 132 的值等于(11232)(1 1216)(1 128)(1 124)(1 122)(1 12)A1 B21264 1263C D12 1265 34(1 1232)【答案】B【解析】原式2 2 2(112) (1 12) (1 122) (1 124) (1 1232) (1 122)(1 122) (1 1232)2 (11264) 12633已知 5a，则 21a的值=_【答案】1234已知 67x27 ,603y81
10、，求 的值3x 4y【答案】2【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形，67 x27，67 x3 3， 67x，同理，由 603y81 得40y，两式相除得32x， 23x 4y数学文化举一反三14有一天， “至圣先师”孔子对他的学生说：“举一隅，不以三隅反，则不复也 ”意思是说，我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！15考点 32 指数函数要点阐述指数函数的概念:函数 y ax（ a0,且 a1）叫做指数函数【特别提醒】 （
11、1）底数是大于 0 且不等于 1 的常数；（2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上；（3） ax的系数必须为 1；（4）指数函数不会是多项式，如 y=2x+1 不是指数函数典型例题【例】已知函数 f（ x）是指数函数，且 f ，则 f（3）_(32) 525A5 B25C125 D250【思路归纳】设 出 指 数 函 数 ， 将 已 知 点 代 入 求 出 待 定 参 数 ， 求 出 指 数 函 数 的 解 析 式 ； 将 x=3 代入 解 析 式 ， 即 可 求 出 f（ 3） 小试牛刀1下列各项对正整数指数函数的理解正确的有底数 a0；指数 xN ；底数不为 0； y ax（ a0， a
12、1， xN ） A0 个 B1 个C2 个 D3 个【答案】D【解析】由正整数指数函数定义知错误，正确故选 D162下列各函数中，是指数函数的是A y（3） x B y3C y3 x1 D y x(13)【答案】D【解析】根据指数函数的定义， y ax（ a0 且 a1） ，可知只有 D 项正确故选 D3函数 y5 x， xN 的值域是AR BN CN D5，5 2，5 3，5 4，【易错易混】注意自变量的取值，准确写成集合的形式。4函数 f（ x）（ a23 a3） ax是指数函数，则有A a1 或 a2 B a1C a2 D a0 且 a1【答案】C【解析】由题意得Error!解得 a2【
13、易错易混】根 据 指 数 函 数 的 定 义 ， 可 将 “函 数 y=（ a23a+3） ax 是 指 数 函 数 ”转 化 为 a23a+3=1， 且 底 数 满 足 ： a0 且 a 1， 进 而 解 方 程 求 出 a 值5经过点（ ， ）的指数函数的解析式为32827A y（ ） x B y（ ） x94 32C y（ ） x D y（ ） x49 23【答案】A【解析】将点（ ， ）代入指数函数 y ax（ a0 且 a1）中，则 a ，即（ ） （ ） 3，所以32827 32 827 1a 32 23 ，即 a 1a 23 9417考题速递1下列函数： y23 x； y3 x1
14、 ； y3 x； y x3，其中指数函数的个数是A0 B1C2 D32指数函数 xya=的图像经过点（2，16）则 a的值是A 14 B 12C2 D4【答案】D【解析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可设指数函数为 xya（ 0 且 a1） ,将（2，16）代入得 216a,解得 a=4,所以 xy43指数函数 y=f（ x）的图象经过点 ，那么 f（4） f（2）等于A8 B16C32 D64【答案】D【解析】设 f（ x）= ax，由条件知 f（2）= ，故 a2= ，所以 a=2，因此 f（ x）=2 x，所以f（4） f（2）=2 422=644若函数
15、y（43 a） x是指数函数，求实数 a 的取值范围【答案】 a|a0，即 x1函数的定义域为（1，+） 【解题技巧】求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 xya型还是 fya（ x） 型，前者的定义域是 R，后者的定义域与 fx（ ） 的定义域一致小试牛刀1若函数 f（ x）3 x3 x与 g（ x）3 x3 x的定义域为 R，则A f（ x）与 g（ x）均为偶函数B f（ x）为偶函数， g（ x）为奇函数C f（ x）与 g（ x）均为奇函数D f（ x）为奇函数， g（ x）为偶函数2函数 f（ x） -3x1 的定义域、 g（ x） 3x1 的定义域正确的是A f（ x
16、）定义域是 R， g（ x）定义域是 RB f（ x）定义域是（1，） ， g（ x）定义域是 RC f（ x）定义域是 R， g（ x）定义域是（1，）D以上都不对20【答案】A【解析】 f（ x）（ 13） x1，定义域为 R， g（ x） 3x1 的定义域为 R，故选 A3函数 y ax3 3（ a0，且 a1）的图象过定点_【答案】 （3， 4）【思路归纳】思路一：令指数 30x，求得 x与 y的值即得定点的坐标；思路二：利用函数 xya过定点 0,1，结合函数图象的平移求函数 y ax3 3（ a0，且 a1）的图象过定点得坐标4函数 y a2x b1（ a0，且 a1）的图象恒过定
17、点（1，2） ，则 b_【答案】2【解析】把点（1 ,2）代入，得 2 a2 b1， a2 b1 恒成立2 b0， b25求函数 14xy的定义域【答案】R【解析】因为对于任意的 xR，函数 142xy都有意义，所以函数 142xy的定义域为 R【易错易混】指数型函数的定义域要考虑系数、底数、指数各部分都有意义。考题速递1设集合 A x|x1|0 且 a1）的图象必经过点A （0 ,1） B （1 ,1）C （2 ,0） D （2 ,2）【答案】D【解析】由 y ax过定点（0 ,1） ，则 y ax2 1 中 x20 时 y a012，即过点（2 ,2） 3已知函数 f（ x） ax，其中
18、a0，且 a1，如果以 P（ x1， f（ x1） ） ， Q（ x2， f（ x2） ）为端点的线段的中点在 y 轴上，那么 f（ x1） f（ x2）等于A1 B aC2 D a24若函数 y 21xa为奇函数（1）求 a 的值；（2）求函数的定义域【答案】 （1） 2；（2） x|x0【解析】函数 y 1xa， y a 12x（1）由奇函数的定义，可得 f（ x） f（ x）0，即 a 2x a 1x0，222 a 12x0， a 12（2） y x，2 x10，即 x0函数 y 1 2x的定义域为 x|x0数学文化庄子曰:“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。“23考点 34 指数函数单调
19、性与值域要点阐述指数函数:（1）当 a1 时，在 R 上为增函数当 025 3 B08 209 05【答案】D【解析】 y09 x是减函数，且 0503，09 03 09 052函数 f（ x）=3 x3（1bc B acbC cab D bca【解题技巧】比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值（0 或 1）法5若函数 f（ x） a|x1| （ a0，且 a1）的值域为1，） ，则 f（4）与 f（1）的关系是A f（4） f（1） B f（4） f（1）C f（4）1， f（4） a3， f（1） a2，由单调性知 a3a2， f（4） f（1） 6设 f（ x） ，求 f（ x）的值
20、域2x 12x 1【解析】令 y ， （2 x1） y2 x1 ,2x（ y1）1 y,2x ，2x 12x 1 1 y1 y2 x0， 0，Error!1 y1 y或Error! 解得115 01， b2 y3 x，则下列各式中正确的是A x y0 B x y0 D x y2 y3 y2 y3 （ y） ，可知 f（ x） f（ y） 26又 f（ x）为增函数，所以 x y，故 x y0故选 A4若 a0 且 a1，试比较 a 21 与 a34的大小【答案】 （1） a1 时， a 2x a ；（2）01 0nm0，则指数函数 y mx， y nx的图象为【答案】C3若 01， b1， b0C00D00，且 a1）的图象有两个公共点，求 a 的取值范围【解析】当 a1 时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知 11 矛盾当 00，且 a1）的图象可能是
