2018_2019学年高中数学专题06指数函数庖丁解题新人教A版必修1.doc

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1、1专题 06 指数函数考点 29 根式的化简运算考点 30 根式与分数指数幂的互化考点 31 指数幂的运算考点 32 指数函数考点 33 指数函数定义域和特殊点考点 34 指数函数单调性与值域考点 35 指数函数的图象变换考点 36 指数函数综合题考点 37 指数式与对数式的互化考点 29 根式的化简运算要点阐述根式(1)定义:如果 nxa,那么 x 称为 a 的 n 次方根.(2)两个重要公式: ,n为 奇 数, 为 偶 数 na)(a. 典型例题【例】计算: .3 22 3 1 2 3 4 1 2 4【解析】32 ( )22 1( 1) 2,2 2 2 2原式 1 2 2 3 1 2 3

2、4 1 2 4|1 |(1 )|1 |2 2 22 11 1 12 2 2 2小试牛刀1 ( a4) 0有意义,则 a 的取值范围是4a-2A a2 B2 a4C a2 D a4252 的平方根是6A B 3 2 3 2C D , 2 3 3 2 2 3【答案】D【解析】 5 2 ( ) 2, 从 而 5 2 的 平 方 根 是 和 , 从 而 选 D 项 6 3 2 6 3 2 2 33下列各式正确的是A 3 B a ( 3) 2 4a4C 2 D 222 3 ( 2) 3【答案】C【解析】由于 3, | a|, 2,故 A、 B、 D 错误,故选 C ( 3) 2 4a4 3 ( 2) 3

3、【易错易混】解题时注意符号4下列式子中成立的是A a B a a a3 a a3C a D a a a3 a a3【答案】C【解析】要使 a 有意义,则 a0, a故 a ( a) ,故选 C a a ( a) 2( a) a35 的值是 ( a b) 2 5 ( a b) 5A0 B2( a b)3C0 或 2( a b) D a b【答案】C【解析】分类讨论,当 a b0 时,原式( a b)( a b)2( a b) ;当 a b0, y0 B x0, y0 D x0, y0 B x0, y0 D x1 D x R,且 x1【答案】D【解析】 (| x|1) ,| x|10, 13|x|

4、 1即 x1 x 的取值范围是 x R,且 x12用分数指数幂表示下列各式(其中各式字母均为正数) (1) 32ab;(2) 324ab( +) 【答案】 (1)13( );(2)132( )【解析】 (1) 3 3abab( ) (2)2123442( +) ( ) ( +)3已知 0b0,求 的值a ba b【答案】 55【解析】 (1) a, b 是方程 x26 x40 的两实数根,Error! ab0, a b则 2 (a ba b) a b 2 aba b 2 ab 6 2 46 2 4 210 15 a ba b 15 559数学文化幂的玄机有一天,一个叫杰米的百万富翁,碰上一件很

5、奇怪的事一个叫韦伯的人对他说:“我想和你定个合同,我将在整整一个月每天给你 10 万元,而你第一天只需给我一分钱,以后每天给我的钱是前一天的两倍 ”杰米说:“真的?!你说话算数?”合同生效了,杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产,指数爆炸让杰米吃了大苦头这其中的奥妙玄机在哪呢?10考点 31 指数幂的运算要点阐述指数幂的运算性质(1) aA; (2) ()a; (3) ()ab; 典型例题【例】若 a1, b0, ab ab2 ,则 ab ab等于2A B2 或26C2 D2【答案】D【方法技巧】平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系

6、,变形求解即可小试牛刀1下列各式运算错误的是A ( a2b) 2( ab2) 3 a7b8B ( a2b3) 3( ab2) 3 a3b3C ( a3) 2( b2) 3 a6b6D( a3) 2( b2) 33 a18b18【答案】C【解析】对于 A, ( a2b) 2( ab2) 3 a4b2( a3b6) a7b8,故 A 正确;对于 B,( a2b3) 3( ab2) 3 a6b9( a3b6) a63 b96 a3b3,故 B 正确;对于 C, ( a3) 2( b2)3 a6( b6) a6b6,故 C 错误;对于 D,易知正确,故选 C112下列各式中正确的个数是(1) ( )

7、n a( n 是奇数且 n1, a 是实数) ;nan na(2) ( ) n a( n 是正偶数, a 是实数) ;nan na(3) a b( a, b 是实数) 3a3 b2A0 B1C2 D3【易错易混】对指数幂的运算,要分清开方、乘方等的运算顺序,用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式3计算(2 a3 b )(3 a1 b)(4 a4 b )得23 53A b2 B b2 C b D b32 32 3273 3273 【答案】A【解析】原式 b2 6a 4b13 4a 4b 53 32【解题技巧】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算(2)先乘除后

8、加减,负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答4 ( ) 0的值是614 3338 40.062 5 3 A0 B12C1 D32【答案】B12【解析】原式 051 52 32 125计算 025 05 的值为(127) 13 416A7 B3C7 或 3 D5【答案】B【解析】025 05 (127) 13 416 2 3 2323(12) ( 12) (13) ( 13) 4246完成下列式子的化简:(1) ( a2 b3 )(4 a1 b)

9、(12 a4 b2 c) ;(2)2 4 3 3a 6ab b3考题速递1计算 + + ,结果是A1 B2C D【答案】B【解析】原式= + + 1= + +11=2 132 的值等于(11232)(1 1216)(1 128)(1 124)(1 122)(1 12)A1 B21264 1263C D12 1265 34(1 1232)【答案】B【解析】原式2 2 2(112) (1 12) (1 122) (1 124) (1 1232) (1 122)(1 122) (1 1232)2 (11264) 12633已知 5a,则 21a的值=_【答案】1234已知 67x27 ,603y81

10、,求 的值3x 4y【答案】2【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形,67 x27,67 x3 3, 67x,同理,由 603y81 得40y,两式相除得32x, 23x 4y数学文化举一反三14有一天, “至圣先师”孔子对他的学生说:“举一隅,不以三隅反,则不复也 ”意思是说,我举出一个墙角,你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角,如果不能的话,我也不会再教你们了后来,大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语,意思是说,学一件东西,可以灵活的思考,运用到其他相类似的东西上!15考点 32 指数函数要点阐述指数函数的概念:函数 y ax( a0,且 a1)叫做指数函数【特别提醒】 (

11、1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数;(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上;(3) ax的系数必须为 1;(4)指数函数不会是多项式,如 y=2x+1 不是指数函数典型例题【例】已知函数 f( x)是指数函数,且 f ,则 f(3)_(32) 525A5 B25C125 D250【思路归纳】设 出 指 数 函 数 , 将 已 知 点 代 入 求 出 待 定 参 数 , 求 出 指 数 函 数 的 解 析 式 ; 将 x=3 代入 解 析 式 , 即 可 求 出 f( 3) 小试牛刀1下列各项对正整数指数函数的理解正确的有底数 a0;指数 xN ;底数不为 0; y ax( a0, a

12、1, xN ) A0 个 B1 个C2 个 D3 个【答案】D【解析】由正整数指数函数定义知错误,正确故选 D162下列各函数中,是指数函数的是A y(3) x B y3C y3 x1 D y x(13)【答案】D【解析】根据指数函数的定义, y ax( a0 且 a1) ,可知只有 D 项正确故选 D3函数 y5 x, xN 的值域是AR BN CN D5,5 2,5 3,5 4,【易错易混】注意自变量的取值,准确写成集合的形式。4函数 f( x)( a23 a3) ax是指数函数,则有A a1 或 a2 B a1C a2 D a0 且 a1【答案】C【解析】由题意得Error!解得 a2【

13、易错易混】根 据 指 数 函 数 的 定 义 , 可 将 “函 数 y=( a23a+3) ax 是 指 数 函 数 ”转 化 为 a23a+3=1, 且 底 数 满 足 : a0 且 a 1, 进 而 解 方 程 求 出 a 值5经过点( , )的指数函数的解析式为32827A y( ) x B y( ) x94 32C y( ) x D y( ) x49 23【答案】A【解析】将点( , )代入指数函数 y ax( a0 且 a1)中,则 a ,即( ) ( ) 3,所以32827 32 827 1a 32 23 ,即 a 1a 23 9417考题速递1下列函数: y23 x; y3 x1

14、 ; y3 x; y x3,其中指数函数的个数是A0 B1C2 D32指数函数 xya=的图像经过点(2,16)则 a的值是A 14 B 12C2 D4【答案】D【解析】设出指数函数,将已知点代入求出待定参数,求出指数函数的解析式即可设指数函数为 xya( 0 且 a1) ,将(2,16)代入得 216a,解得 a=4,所以 xy43指数函数 y=f( x)的图象经过点 ,那么 f(4) f(2)等于A8 B16C32 D64【答案】D【解析】设 f( x)= ax,由条件知 f(2)= ,故 a2= ,所以 a=2,因此 f( x)=2 x,所以f(4) f(2)=2 422=644若函数

15、y(43 a) x是指数函数,求实数 a 的取值范围【答案】 a|a0,即 x1函数的定义域为(1,+) 【解题技巧】求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是 xya型还是 fya( x) 型,前者的定义域是 R,后者的定义域与 fx( ) 的定义域一致小试牛刀1若函数 f( x)3 x3 x与 g( x)3 x3 x的定义域为 R,则A f( x)与 g( x)均为偶函数B f( x)为偶函数, g( x)为奇函数C f( x)与 g( x)均为奇函数D f( x)为奇函数, g( x)为偶函数2函数 f( x) -3x1 的定义域、 g( x) 3x1 的定义域正确的是A f( x

16、)定义域是 R, g( x)定义域是 RB f( x)定义域是(1,) , g( x)定义域是 RC f( x)定义域是 R, g( x)定义域是(1,)D以上都不对20【答案】A【解析】 f( x)( 13) x1,定义域为 R, g( x) 3x1 的定义域为 R,故选 A3函数 y ax3 3( a0,且 a1)的图象过定点_【答案】 (3, 4)【思路归纳】思路一:令指数 30x,求得 x与 y的值即得定点的坐标;思路二:利用函数 xya过定点 0,1,结合函数图象的平移求函数 y ax3 3( a0,且 a1)的图象过定点得坐标4函数 y a2x b1( a0,且 a1)的图象恒过定

17、点(1,2) ,则 b_【答案】2【解析】把点(1 ,2)代入,得 2 a2 b1, a2 b1 恒成立2 b0, b25求函数 14xy的定义域【答案】R【解析】因为对于任意的 xR,函数 142xy都有意义,所以函数 142xy的定义域为 R【易错易混】指数型函数的定义域要考虑系数、底数、指数各部分都有意义。考题速递1设集合 A x|x1|0 且 a1)的图象必经过点A (0 ,1) B (1 ,1)C (2 ,0) D (2 ,2)【答案】D【解析】由 y ax过定点(0 ,1) ,则 y ax2 1 中 x20 时 y a012,即过点(2 ,2) 3已知函数 f( x) ax,其中

18、a0,且 a1,如果以 P( x1, f( x1) ) , Q( x2, f( x2) )为端点的线段的中点在 y 轴上,那么 f( x1) f( x2)等于A1 B aC2 D a24若函数 y 21xa为奇函数(1)求 a 的值;(2)求函数的定义域【答案】 (1) 2;(2) x|x0【解析】函数 y 1xa, y a 12x(1)由奇函数的定义,可得 f( x) f( x)0,即 a 2x a 1x0,222 a 12x0, a 12(2) y x,2 x10,即 x0函数 y 1 2x的定义域为 x|x0数学文化庄子曰:“一尺之棰,日取其半,而万世不竭。“23考点 34 指数函数单调

19、性与值域要点阐述指数函数:(1)当 a1 时,在 R 上为增函数当 025 3 B08 209 05【答案】D【解析】 y09 x是减函数,且 0503,09 03 09 052函数 f( x)=3 x3(1bc B acbC cab D bca【解题技巧】比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法5若函数 f( x) a|x1| ( a0,且 a1)的值域为1,) ,则 f(4)与 f(1)的关系是A f(4) f(1) B f(4) f(1)C f(4)1, f(4) a3, f(1) a2,由单调性知 a3a2, f(4) f(1) 6设 f( x) ,求 f( x)的值

20、域2x 12x 1【解析】令 y , (2 x1) y2 x1 ,2x( y1)1 y,2x ,2x 12x 1 1 y1 y2 x0, 0,Error!1 y1 y或Error! 解得115 01, b2 y3 x,则下列各式中正确的是A x y0 B x y0 D x y2 y3 y2 y3 ( y) ,可知 f( x) f( y) 26又 f( x)为增函数,所以 x y,故 x y0故选 A4若 a0 且 a1,试比较 a 21 与 a34的大小【答案】 (1) a1 时, a 2x a ;(2)01 0nm0,则指数函数 y mx, y nx的图象为【答案】C3若 01, b1, b0C00D00,且 a1)的图象有两个公共点,求 a 的取值范围【解析】当 a1 时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象,则由图可知 11 矛盾当 00,且 a1)的图象可能是

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